Ideea lecției
Logaritmul răspunde unei întrebări simple: „la ce exponent trebuie ridicată baza pentru a obține numărul dat?”. Înțelegerea acestei relații inverse este mai importantă decît memorarea valorilor izolate.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- \(\log_a b=c\iff a^c=b\).
- Condițiile sînt \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\).
- \(\log_a1=0\) și \(\log_a a=1\).
Reguli și legături importante
- Înainte să calculezi un logaritm, verifică baza și argumentul.
- Dacă numărul poate fi scris ca o putere a bazei, logaritmul este exponentul.
- Un logaritm cu argument zero sau negativ nu este definit în \(\mathbb R\).
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Verifică \(a>0\), \(a\\ne1\), \(b>0\).
- Pasul 2. Transformă întrebarea \(\log_a b=x\) în ecuația exponențială \(a^x=b\).
- Pasul 3. Scrie \(b\) ca putere a lui \(a\) dacă este posibil.
- Pasul 4. Citește exponentul obținut.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Calculează \(\log_2 32\).
Pasul 1. Condițiile sînt îndeplinite: \(2>0\), \(2\ne1\), \(32>0\).
Pasul 2. Căutăm \(x\) astfel încît \(2^x=32\).
Pasul 3. Cum \(32=2^5\), rezultă \(x=5\).
Concluzie. \(\log_2 32=5\).
Greșeală frecventă
Nu există \(\log_a 0\) sau \(\log_a(-3)\) în mulțimea numerelor reale.
Verificare rapidă
- Cît este \(\log_5 1\)?
Vezi răspunsul
- Cît este \(\log_7 7\)?
Vezi răspunsul
- Este definit \(\log_1 5\)?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Calculează \(\log_3 81\).
2
Calculează \(\log_{10}0,01\).
3
Este definit \(\log_2(-8)\) în \(\mathbb R\)?
6
Este definit \(\log_1 5\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Calculează \(\log_2 32\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu există \(\log_a 0\) sau \(\log_a(-3)\) în mulțimea numerelor reale.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.