Ideea lecției
Ecuațiile exponențiale se simplifică atunci când ambele membre pot fi scrise cu aceeași bază. Injectivitatea funcției exponențiale permite apoi egalarea exponenților.
În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.
Noțiuni-cheie
- Dacă \(a>0\), \(a\ne1\), atunci \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)\).
- Uneori este utilă substituția \(t=a^x>0\).
- Proprietățile puterilor ajută la reducerea la aceeași bază.
Reguli și legături importante
- Nu egala exponenții dacă bazele nu sînt aceleași sau nu ai justificat transformarea.
- La substituția \(t=a^x\), reține condiția \(t>0\).
- După rezolvarea în \(t\), revino la \(x\).
Înțelegere pas cu pas
- Pasul 1. Încearcă să scrii toate numerele ca puteri ale aceleiași baze.
- Pasul 2. Aplică legile exponenților.
- Pasul 3. Folosește injectivitatea sau o substituție pozitivă.
- Pasul 4. Verifică soluția în forma inițială.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Rezolvă \(3^{2x-1}=27\).
Pasul 1. Scriem \(27=3^3\).
Pasul 2. Bazele sînt egale și admise, deci \(2x-1=3\).
Pasul 3. Rezultă \(2x=4\), deci \(x=2\).
Concluzie. \(S=\{2\}\).
Greșeală frecventă
Nu transforma \(a^x+b^x\) în \((a+b)^x\); o astfel de regulă nu există.
Verificare rapidă
- Dacă \(2^u=2^v\), atunci?
Vezi răspunsul
- La substituția \(t=a^x\), ce condiție are \(t\)?
Vezi răspunsul
- Cît este \(5^0\)?
Vezi răspunsul
Exerciții
4
Dacă \(2^u=2^v\), atunci?
5
La substituția \(t=a^x\), ce condiție are \(t\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă \(3^{2x-1}=27\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu transforma \(a^x+b^x\) în \((a+b)^x\); o astfel de regulă nu există.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.