A32 - Totalități de ecuații

Ideea lecției

O totalitate de ecuații modelează alternativa „sau”: este suficient ca cel puțin una dintre ecuații să fie satisfăcută. Din acest motiv, mulțimea soluțiilor se obține prin reuniunea soluțiilor ramurilor.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Într-un sistem folosim „și”, deci intersecție; într-o totalitate folosim „sau”, deci reuniune.
  • Dacă totalitatea are ecuațiile \(E_1,E_2\), atunci \(S=S_1\cup S_2\).
  • O ecuație produs \(f(x)g(x)=0\) se poate privi ca totalitatea \(f(x)=0\) sau \(g(x)=0\).

Reguli și legături importante

  • Rezolvă fiecare ramură separat.
  • Respectă domeniul comun al problemei inițiale.
  • La final elimină duplicatele din reuniunea soluțiilor.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Identifică ramurile alternative.
  2. Pasul 2. Rezolvă fiecare ecuație cu restricțiile sale.
  3. Pasul 3. Reunește mulțimile de soluții.
  4. Pasul 4. Verifică dacă soluțiile aparțin domeniului inițial.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Rezolvă totalitatea \(x-2=0\) sau \(x+5=0\).

Pasul 1. Prima ecuație dă \(x=2\).

Pasul 2. A doua ecuație dă \(x=-5\).

Pasul 3. Pentru că este „sau”, reuniunea este \(\{-5,2\}\).

Concluzie. \(S=\{-5,2\}\).

Greșeală frecventă

Nu intersecta soluțiile unei totalități; aceasta ar transforma „sau” în „și”.

Verificare rapidă

  • Ce operație corespunde unei totalități?
    Vezi răspunsul

    Reuniunea.

  • Ce operație corespunde unui sistem?
    Vezi răspunsul

    Intersecția.

  • Cum interpretăm \(fg=0\)?
    Vezi răspunsul

    \(f=0\) sau \(g=0\).

Exerciții

1
Rezolvă \((x-1)(x+2)=0\).
2
Rezolvă totalitatea \(x=3\) sau \(x^2=4\).
3
Dacă \(S_1=\{1,2\}\), \(S_2=\{2,3\}\), care este soluția totalității?
4
Ce operație corespunde unei totalități?
5
Ce operație corespunde unui sistem?
6
Cum interpretăm \(fg=0\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Rezolvă totalitatea \(x-2=0\) sau \(x+5=0\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu intersecta soluțiile unei totalități; aceasta ar transforma „sau” în „și”.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor