G11 - Teorema lui Thales și segmente proporționale

Ideea lecției

Teorema lui Thales transformă paralelismul în proporții. O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale și creează triunghiuri asemenea.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Dacă \(DE\parallel BC\) în \(\triangle ABC\), cu \(D\in AB\), \(E\in AC\), atunci \(\displaystyle\frac{AD}{AB}=\displaystyle\frac{AE}{AC}=\displaystyle\frac{DE}{BC}\).
  • Rezultă și proporții între segmentele corespunzătoare, de exemplu \(AD/DB=AE/EC\).
  • Reciproca permite demonstrarea paralelismului din proporționalitate.

Reguli și legături importante

  • Thales este legat direct de asemănarea triunghiurilor \(ADE\) și \(ABC\).
  • Scrie rapoartele în aceeași direcție: mic/mare sau mare/mic.
  • Verifică poziția punctelor pe laturile triunghiului.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Marchează paralelismul.
  2. Pasul 2. Identifică triunghiurile mic și mare.
  3. Pasul 3. Scrie raporturile elementelor corespunzătoare în aceeași ordine.
  4. Pasul 4. Rezolvă proporția și verifică dacă lungimea obținută este geometric plauzibilă.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. În \(\triangle ABC\), \(DE\parallel BC\), \(AD=3\), \(AB=9\), \(BC=12\). Află \(DE\).

Pasul 1. Prin Thales, \(AD/AB=DE/BC\).

Pasul 2. \(3/9=DE/12\), deci \(1/3=DE/12\).

Pasul 3. \(DE=4\).

Concluzie. \(DE=4\).

Greșeală frecventă

Nu combina raportul mic/mare pe o latură cu mare/mic pe alta.

Verificare rapidă

  • Ce condiție geometrică declanșează teorema lui Thales?
    Vezi răspunsul

    Paralelismul.

  • Ce tip de triunghiuri apar?
    Vezi răspunsul

    Triunghiuri asemenea.

  • Poate reciproca demonstra paralelismul?
    Vezi răspunsul

    Da, în condițiile teoremei.

Exerciții

1
Într-un triunghi, DE∥BC, AD/AB=1/2 și BC=14. DE?
2
Dacă AD/DB=2/3 și AE/EC=2/3, ce sugerează reciproca lui Thales?
3
Raportul mic/mare este 3/5. O latură mare 20 corespunde cărei laturi mici?
4
Ce condiție geometrică declanșează teorema lui Thales?
5
Ce tip de triunghiuri apar?
6
Poate reciproca demonstra paralelismul?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: În \(\triangle ABC\), \(DE\parallel BC\), \(AD=3\), \(AB=9\), \(BC=12\). Află \(DE\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „Nu combina raportul mic/mare pe o latură cu mare/mic pe alta.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor