A23 - Termenul general și coeficienții binomiali

Ideea lecției

Nu este nevoie să dezvoltăm întregul binom pentru a găsi un singur termen. Termenul general ne spune direct coeficientul și exponenții, iar această metodă devine esențială la puteri mari.

În această lecție lucrăm intenționat în pași mici: mai întâi sensul noțiunii, apoi regula, apoi metoda de aplicare. Scopul este să poți explica de ce funcționează o transformare, nu doar să reproduci o formulă.

Noțiuni-cheie

  • Termenul cu indice \(k\) în dezvoltarea \((a+b)^n\) poate fi scris \(T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k\).
  • Indicele termenului începe la 1, dar \(k\) începe la 0.
  • Coeficienții binomiali satisfac relația lui Pascal \(C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k\).

Reguli și legături importante

  • Pentru un termen cu o putere cerută a lui \(x\), scrie exponentul lui \(x\) din termenul general și rezolvă ecuația în \(k\).
  • Verifică \(0\le k\le n\) și \(k\in\mathbb Z\).
  • Nu confunda \(T_k\) cu parametrul \(k\) din formula standard.

Înțelegere pas cu pas

  1. Pasul 1. Scrie termenul general.
  2. Pasul 2. Izolează exponentul variabilei căutate.
  3. Pasul 3. Egalizează-l cu exponentul cerut și determină \(k\).
  4. Pasul 4. Înlocuiește \(k\) și calculează coeficientul.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Găsește coeficientul lui \(x^2\) în \((x+1)^5\).

Pasul 1. Termenul general este \(C_5^k x^{5-k}\).

Pasul 2. Cerem \(5-k=2\), deci \(k=3\).

Pasul 3. Coeficientul este \(C_5^3=10\).

Concluzie. Coeficientul lui \(x^2\) este 10.

Greșeală frecventă

În formula \(T_{k+1}\), primul termen corespunde lui \(k=0\). Această deplasare cu 1 provoacă multe erori de indexare.

Verificare rapidă

  • Pentru primul termen, ce valoare are \(k\)?
    Vezi răspunsul

    0.

  • Cît este \(C_6^1\)?
    Vezi răspunsul

    6.

  • Ce verificăm după ce aflăm \(k\)?
    Vezi răspunsul

    Ca \(k\) să fie întreg și \(0\le k\le n\).

Exerciții

1
Care este al patrulea termen din \((a+b)^5\)?

\(\displaystyle T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k
C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k\)

2
Coeficientul lui \(x^3\) în \((x+2)^4\)?
3
Calculează \(C_6^3\).
4
Pentru primul termen, ce valoare are \(k\)?
5
Cît este \(C_6^1\)?
6
Ce verificăm după ce aflăm \(k\)?
7
Rezolvă fără a consulta exemplul-model: Găsește coeficientul lui \(x^2\) în \((x+1)^5\).
8
Scrie, în ordinea corectă, pașii metodei de lucru pentru tipul de problemă studiat în această lecție.
9
Un elev ignoră următoarea atenționare: „În formula \(T_{k+1}\), primul termen corespunde lui \(k=0\). Această deplasare cu 1 provoacă multe erori de indexare.” Este metoda elevului sigură în toate cazurile?
10
Formulează regula/definiția centrală a lecției într-o propoziție matematică precisă.
Înapoi Următor