A01 - Mulțimea numerelor reale și submulțimi ale ei

Mulțimea numerelor reale și submulțimi ale ei

Numerele reale reunesc numerele raționale și iraționale. În această lecție recapitulăm incluziunile dintre mulțimile de numere, formele zecimale, aproximările și rotunjirile, modulul și compararea numerelor reale, exact în ordinea în care manualul consolidează aceste idei.

1. Mulțimi și reprezentări

Un număr rațional se poate scrie sub forma \(\frac{m}{n}\), cu \(m\in\mathbb Z\) și \(n\in\mathbb N^*\). Scrierile zecimale finite sau periodice sunt raționale; scrierile zecimale infinite neperiodice sunt iraționale. Relațiile de bază sunt \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\), iar mulțimea numerelor iraționale este \(I=\mathbb R\setminus\mathbb Q\).

2. Aproximări și rotunjiri

Pentru un număr real putem folosi aproximarea prin lipsă, aproximarea prin adaos și rotunjirea la unități, zecimi, sutimi etc. O aproximare trebuie întotdeauna însoțită de precizia cerută. La numere negative, poziția pe axă trebuie urmărită atent: \(-2,8<-2,7\).

3. Modul și comparație

Modulul \(|a|\) reprezintă distanța dintre punctul de coordonată \(a\) și origine. De aceea \(|a|\ge0\), iar \(|a|=a\) pentru \(a\ge0\) și \(|a|=-a\) pentru \(a<0\). Pe axa numerelor, numărul aflat mai la dreapta este mai mare.

Definiție esențială. \(\mathbb R=\mathbb Q\cup I\), cu \(\mathbb Q\cap I=\varnothing\). Modulul este \(|a|=\begin{cases}a,&a\ge0\\-a,&a<0.\end{cases}\)
De reținut.
  • Zecimal finit sau periodic \(\Rightarrow\) număr rațional; zecimal infinit neperiodic \(\Rightarrow\) număr irațional.
  • Pentru orice \(a\in\mathbb R\), \(|a|\ge0\), \(|-a|=|a|\).
  • Compararea se poate face pe axă sau prin aproximări suficient de precise.

Exemplu explicat pas cu pas

Clasifică și compară \(-\sqrt{16}\) cu \(-3,8\).

  1. \(\sqrt{16}=4\), deci \(-\sqrt{16}=-4\), un număr întreg.
  2. Pe axă, \(-4\) este la stânga lui \(-3,8\).
  3. Prin urmare \(-\sqrt{16}<-3,8\).

Concluzie: \(-\sqrt{16}\in\mathbb Z\) și \(-\sqrt{16}<-3,8\).

Greșeală frecventă. Nu considera automat irațional orice număr care conține un radical. Simplifică radicalul înainte de clasificare.

Verificare rapidă

  • Este \(0,1(6)\) rațional?
  • Care este \(|-7,2|\)?
  • Între ce două întregi consecutive se află \(\sqrt{20}\)?

Exerciții

1
Indică cea mai mică mulțime dintre \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,I\) în care se află \(-12\).
2
Stabilește dacă \(0,2(7)\) este rațional sau irațional.
3
Calculează \(|-7,35|\).
4
Rotunjește \(12,7468\) până la sutimi.
5
Compară \(\sqrt{10}\) și \(3,2\).
6
Scrie ca interval mulțimea numerelor reale \(x\) pentru care \(|x|\le 5\).
7
Scrie \(0,(36)\) ca fracție ireductibilă.

\(0,(\overline{ab})=\frac{ab}{99}\)

8
Ordonează crescător \(-\sqrt5,\,-2,\,0,\,\sqrt3\).
9
Rezolvă condiția \(|x-2|<3\) și scrie soluția ca interval.
10
Arată printr-un contraexemplu că suma a două numere iraționale poate fi rațională.
Înapoi Următor