Teorema lui Thales leagă paralelismul de proporționalitatea segmentelor. Ea stă la baza împărțirii segmentelor în părți proporționale și a criteriilor de asemănare a triunghiurilor.
1. Segmente proporționale
Două șiruri de segmente sunt proporționale dacă rapoartele lungimilor corespunzătoare sunt egale. Valoarea comună este coeficientul de proporționalitate.
2. Teorema lui Thales
Mai multe drepte paralele care intersectează două secante determină pe acestea segmente corespunzătoare proporționale. Într-un triunghi, o dreaptă paralelă cu o latură determină rapoarte egale pe celelalte două laturi.
3. Aplicații și reciprocă
Teorema permite calculul unei lungimi necunoscute și împărțirea unui segment într-un raport dat. În forma reciprocă, proporționalitatea corespunzătoare poate fi folosită pentru a demonstra paralelismul.
Definiție esențială. Dacă \(DE\parallel BC\) în triunghiul \(ABC\), cu \(D\in AB\), \(E\in AC\), atunci \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\).
De reținut.
Paralele \(\Rightarrow\) segmente proporționale.
Respectă aceeași ordine a segmentelor în toate rapoartele.
Reciproca lui Thales poate demonstra paralelismul.
Exemplu explicat pas cu pas
În \(\triangle ABC\), \(DE\parallel BC\), \(AD=3\), \(AB=9\), \(BC=12\). Află \(DE\).
Raportul de asemănare este \(\frac{AD}{AB}=\frac39=\frac13\).
Prin Thales, \(\frac{DE}{BC}=\frac13\).
Deci \(DE=\frac13\cdot12=4\).
Concluzie: \(DE=4\).
Greșeală frecventă. Nu amesteca segmente corespunzătoare. Dacă începi cu raportul „mic/mare”, păstrează aceeași orientare în toate rapoartele.
Verificare rapidă
Ce condiție geometrică declanșează teorema lui Thales?
Dacă raportul este \(1/2\) și latura mare este 10, cât este cea mică?
La ce folosește reciproca teoremei?
Exerciții
1
Dacă două segmente au lungimile \(6\) și \(9\), care este raportul primul/al doilea?
2
Segmentele \(3,6,9\) sunt proporționale cu \(5,10,15\)?
3
În \(\triangle ABC\), \(DE\parallel BC\), \(AD=4\), \(AB=10\), \(BC=15\). Află \(DE\).
\(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\)
4
În aceeași configurație, \(AD=3\), \(DB=6\), \(AE=4\). Află \(EC\).
5
Împarte un segment de \(20\) cm în două părți în raport \(2:3\).
6
Împarte \(36\) cm în raport \(2:3:4\).
7
În \(\triangle ABC\), \(D\in AB\), \(E\in AC\), \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\). Ce concluzie permite reciproca lui Thales?
8
În \(\triangle ABC\), \(DE\parallel BC\), \(AB=12\), \(AD=8\), \(AC=15\). Află \(AE\).
9
Un segment de \(28\) cm este împărțit în raport \(3:4\). Află partea mai mare.
10
În \(\triangle ABC\), o paralelă la \(BC\) taie \(AB\) în \(D\) și \(AC\) în \(E\). Dacă \(AD:DB=2:1\) și \(AE=6\), află \(EC\).