Ecuația de gradul al II-lea apare când necunoscuta are puterea maximă doi. În funcție de formă, o putem rezolva prin factorizare, extragerea rădăcinii sau formula bazată pe discriminant.
1. Forma generală
Ecuația de gradul II are forma \(ax^2+bx+c=0\), cu \(a\ne0\). Coeficienții \(a,b,c\) determină discriminantul \(\Delta=b^2-4ac\).
2. Discriminant și rădăcini
Dacă \(\Delta>0\), există două rădăcini reale distincte; dacă \(\Delta=0\), există o rădăcină reală dublă; dacă \(\Delta<0\), ecuația nu are rădăcini reale.
3. Cazuri simple
Pentru ecuații precum \(x^2=k\), putem extrage direct rădăcina: dacă \(k>0\), \(x=\pm\sqrt k\). O ecuație factorizată \((x-a)(x-b)=0\) se rezolvă folosind regula produsului nul.
Definiție esențială. Ecuația \(ax^2+bx+c=0\), \(a\ne0\), are discriminantul \(\Delta=b^2-4ac\) și, când \(\Delta\ge0\), rădăcinile \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).
De reținut.
\(\Delta>0\): două rădăcini reale.
\(\Delta=0\): o rădăcină dublă.
\(\Delta<0\): nicio rădăcină reală.
Exemplu explicat pas cu pas
Rezolvă \(x^2-5x+6=0\).
Factorizăm: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).
Produsul este zero dacă unul dintre factori este zero.
Rezultă \(x=2\) sau \(x=3\).
Concluzie: Mulțimea soluțiilor este \(\{2,3\}\).
Greșeală frecventă. Nu uita coeficientul \(2a\) din numitorul formulei rădăcinilor și calculează discriminantul înainte de radical.
Verificare rapidă
Care este \(\Delta\) pentru \(x^2+2x+1=0\)?
Rezolvă \(x^2=25\).
Câte rădăcini reale are o ecuație cu \(\Delta<0\)?
Exerciții
1
Rezolvă \(x^2=49\).
2
Rezolvă \(x^2-9=0\).
3
Calculează discriminantul pentru \(2x^2-3x-2=0\).
\(\Delta=b^2-4ac\)
4
Rezolvă \(x^2-5x+6=0\).
5
Rezolvă \(x^2+2x-3=0\).
6
Rezolvă \(x^2-6x+9=0\).
7
Stabilește numărul de soluții reale pentru \(x^2+x+1=0\).
8
Rezolvă \(2x^2-8x=0\).
9
Rezolvă \(3x^2-5x-2=0\) cu formula rădăcinilor.
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
10
Un dreptunghi are laturile \(x\) și \(x+3\), iar aria este \(40\). Află laturile pozitive.