Probabilitatea măsoară cât de plauzibil este un eveniment. În situațiile cu rezultate elementare echiprobabile, probabilitatea se calculează ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
1. Formula clasică
Dacă un experiment are \(n\) rezultate elementare echiprobabile și \(m\) dintre ele favorizează evenimentul \(A\), atunci \(P(A)=\frac mn\).
2. Valori posibile
Pentru orice eveniment, \(0\le P(A)\le1\). Evenimentul imposibil are probabilitatea \(0\), iar evenimentul sigur are probabilitatea \(1\).
3. Numărarea cazurilor
Înainte de a aplica formula trebuie să stabilim corect spațiul rezultatelor și să verificăm echiprobabilitatea. La o monedă echilibrată avem două rezultate, iar la un zar echilibrat șase.
Definiție esențială. În modelul clasic cu rezultate echiprobabile, \(P(A)=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}\).
De reținut.
\(0\le P(A)\le1\).
\(P(\varnothing)=0\), iar \(P(E)=1\) pentru evenimentul sigur \(E\).
Numără cazurile favorabile și posibile în același spațiu de rezultate.
Exemplu explicat pas cu pas
Care este probabilitatea de a obține un număr prim la aruncarea unui zar?
Rezultatele posibile sunt \(1,2,3,4,5,6\), deci \(n=6\).
Numere prime sunt \(2,3,5\), deci \(m=3\).
\(P(A)=\frac36=\frac12\).
Concluzie: Probabilitatea este \(\frac12\).
Greșeală frecventă. Formula \(m/n\) se aplică direct doar când rezultatele elementare considerate sunt echiprobabile.
Verificare rapidă
Care este \(P\) pentru evenimentul sigur?
Ce probabilitate are un eveniment imposibil?
La un zar, care este probabilitatea unui număr mai mare decât 4?
Exerciții
1
La aruncarea unui zar echilibrat, calculează probabilitatea de a obține \(6\).
\(P(A)=\frac mn\)
2
Calculează probabilitatea de a obține un număr par la un zar.
3
Dintr-o urnă cu 3 bile albe și 7 negre se extrage o bilă. Care este probabilitatea să fie albă?
4
Din numerele \(1,\ldots,12\) se alege unul la întâmplare. Probabilitatea să fie multiplu de 4?
5
Care este probabilitatea evenimentului imposibil?
6
Care este probabilitatea evenimentului sigur?
7
O monedă echilibrată se aruncă o dată. Probabilitatea să nu apară stema?
8
Un număr este ales din \(\{1,\ldots,20\}\). Care este probabilitatea să fie prim?
9
Într-o cutie sunt 5 bile roșii, 3 albastre și 2 verzi. Probabilitatea ca bila extrasă să nu fie roșie?
10
Două zaruri echilibrate sunt aruncate. Care este probabilitatea ca suma să fie \(7\)?