Un sistem de două ecuații cu două necunoscute cere valori care satisfac simultan ambele ecuații. Manualul folosește interpretarea geometrică și metodele algebrice de substituție și reducere.
1. Soluția unui sistem
O pereche ordonată \((x,y)\) este soluție dacă verifică fiecare ecuație. Grafic, pentru două ecuații liniare, soluția este punctul de intersecție al celor două drepte.
2. Metoda substituției
Izolăm una dintre necunoscute într-o ecuație și înlocuim expresia obținută în cealaltă. Rezultă o ecuație cu o singură necunoscută, apoi revenim pentru a afla a doua valoare.
3. Metoda reducerii
Înmulțim, dacă este nevoie, ecuațiile cu numere potrivite și le adunăm sau scădem astfel încât una dintre necunoscute să se elimine. După aflarea celeilalte, substituim în una dintre ecuații.
Definiție esențială. Soluția sistemului este o pereche \((x,y)\) care transformă toate ecuațiile sistemului în egalități adevărate.
De reținut.
Substituția elimină o necunoscută prin înlocuire.
Reducerea elimină o necunoscută prin adunarea/scăderea ecuațiilor.
Două drepte distincte paralele \(\Rightarrow\) sistem fără soluții; aceeași dreaptă \(\Rightarrow\) infinit de multe soluții.
Exemplu explicat pas cu pas
Rezolvă \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).
Adunăm ecuațiile: \(2x=8\), deci \(x=4\).
În prima ecuație: \(4+y=7\), deci \(y=3\).
Verificăm: \(4+3=7\), \(4-3=1\).
Concluzie: Soluția este \((4,3)\).
Greșeală frecventă. Nu este suficient ca perechea să verifice o singură ecuație. Ea trebuie să satisfacă întregul sistem.
Verificare rapidă
Este \((2,1)\) soluție pentru \(x+y=3\)?
Ce metodă folosești dacă \(y\) este deja izolat?
Ce înseamnă grafic un sistem cu o singură soluție?
Exerciții
1
Verifică dacă \((2,3)\) este soluție a sistemului \(\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\).