Geometria nu înseamnă doar desen și calcul, ci și argumentare. Lecția formalizează propozițiile matematice, teoremele, ipoteza și concluzia, reciproca unei teoreme, contraexemplul și demonstrația prin reducere la absurd.
1. Propoziții și valoare de adevăr
O propoziție matematică este un enunț despre care se poate stabili dacă este adevărat sau fals. Axiomele sunt propoziții adevărate acceptate fără demonstrație, iar teoremele sunt propoziții al căror adevăr este demonstrat.
2. Ipoteză, concluzie și reciprocă
O teoremă de forma „Dacă P, atunci Q” are ipoteza P și concluzia Q. Reciproca schimbă rolurile: „Dacă Q, atunci P”. O teoremă adevărată nu garantează că reciproca ei este adevărată.
3. Contraexemplu și reducere la absurd
Pentru a arăta că o afirmație universală este falsă, este suficient un contraexemplu. În reducerea la absurd presupunem contrariul concluziei și deducem o contradicție cu ipoteza sau cu un fapt cunoscut.
Definiție esențială. Un contraexemplu este un exemplu care contrazice o afirmație generală și demonstrează astfel că ea este falsă.
De reținut.
Teoremă: ipoteză \(\Rightarrow\) concluzie.
Reciproca nu are automat aceeași valoare de adevăr.
O singură excepție este suficientă pentru a respinge o afirmație universală.
Exemplu explicat pas cu pas
Respinge afirmația „toate numerele prime sunt impare”.
Afirmația este universală, deci căutăm un singur contraexemplu.
Numărul \(2\) este prim.
Numărul \(2\) este par, nu impar.
Concluzie: Afirmația este falsă; \(2\) este contraexemplu.
Greșeală frecventă. Nu confunda o verificare pe câteva exemple cu o demonstrație a unei afirmații universale.
Verificare rapidă
Care este concluzia în „Dacă un triunghi este echilateral, atunci este isoscel”?
Ce dovedește un contraexemplu?
Ce se presupune la începutul unei reduceri la absurd?
Exerciții
1
Stabilește valoarea de adevăr: „Există un număr prim par.”
2
Formulează negația propoziției „\(7>3\)”.
3
În teorema „Dacă un patrulater este pătrat, atunci este dreptunghi”, identifică ipoteza.
4
Pentru aceeași teoremă, formulează reciproca.
5
Dă un contraexemplu pentru afirmația „toate numerele prime sunt impare”.
6
Dă un contraexemplu pentru afirmația „pentru orice \(a\in\mathbb R\), \(|a|>0\)”.
7
Este adevărată reciproca: „Dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci sunt congruente” \(\Rightarrow\) „Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci sunt opuse la vârf”?
8
Ce metodă de demonstrație presupune contrariul concluziei și ajunge la contradicție?
9
Arată prin contraexemplu că „dacă \(a^2=b^2\), atunci \(a=b\)” este falsă în \(\mathbb R\).
10
Identifică concluzia teoremei: „Dacă două drepte din plan sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt paralele.”