Un șir numeric este o succesiune ordonată de numere, fiecare asociat unui indice natural. Putem defini un șir prin formula termenului general, prin recurență sau printr-o regulă descrisă verbal.
1. Termen și indice
Un șir se notează de obicei \((a_n)\). Numărul \(a_n\) este termenul de rang \(n\). Ordinea contează: aceleași valori în altă ordine pot forma un alt șir.
2. Termen general
O formulă precum \(a_n=2n+1\) permite calcularea directă a oricărui termen. Pentru \(n=1,2,3,\ldots\), obținem \(3,5,7,\ldots\).
3. Reguli recursive și proprietăți
Un șir poate fi descris și printr-o relație între termeni succesivi, de exemplu \(a_{n+1}=a_n+3\). Studiem dacă șirul este crescător, descrescător, constant sau periodic analizând termenii și regula sa.
Definiție esențială. Un șir numeric este o funcție definită pe o mulțime de indici naturali, ale cărei valori sunt numere: \(n\mapsto a_n\).
De reținut.
Înlocuiește \(n\) cu indicele cerut pentru a afla \(a_n\).
Nu confunda \(a_n\) cu \(a\cdot n\).
O regulă recursivă are nevoie de un termen inițial.
Exemplu explicat pas cu pas
Pentru \(a_n=3n-2\), află \(a_1,a_4,a_{10}\).
\(a_1=3\cdot1-2=1\).
\(a_4=3\cdot4-2=10\).
\(a_{10}=3\cdot10-2=28\).
Concluzie: Termenii ceruți sunt \(1,10,28\).
Greșeală frecventă. Indicele este o etichetă de poziție. \(a_{10}\) înseamnă al zecelea termen, nu \(10a\).
Verificare rapidă
Pentru \(a_n=n^2\), cât este \(a_5\)?
Ce date sunt necesare unei recurențe?
Este șirul \(2,4,6,8,\ldots\) crescător?
Exerciții
1
Pentru șirul \(a_n=2n+1\), calculează \(a_1\).
2
Pentru \(a_n=3n-4\), calculează \(a_7\).
3
Scrie primii cinci termeni ai șirului \(a_n=n^2\), pentru \(n\ge1\).
4
Determină formula termenului general pentru șirul \(5,8,11,14,\ldots\).
5
Pentru șirul definit prin \(a_1=4,\ a_{n+1}=a_n+3\), calculează \(a_5\).
6
Stabilește dacă șirul \(a_n=10-n\) este crescător sau descrescător.
7
Este numărul \(41\) termen al șirului \(a_n=4n+1\)? Dacă da, care?
8
Determină al 20-lea termen al șirului numerelor pare pozitive.
9
Șirul \(1,-1,1,-1,\ldots\) este periodic. Care este perioada minimă?
10
Pentru \(a_n=n(n+1)\), arată că fiecare termen este par.