A03 - Puterea cu exponent întreg

Puterea cu exponent întreg

Puterea cu exponent întreg extinde regulile puterilor la exponentul zero și la exponenți negativi. Această extindere permite scrierea compactă a numerelor foarte mari sau foarte mici și simplificarea expresiilor cu aceeași bază.

1. Exponent zero și exponent negativ

Pentru \(a\ne0\), avem \(a^0=1\). Pentru \(n\in\mathbb N^*\), puterea cu exponent negativ se definește prin \(a^{-n}=\frac1{a^n}\). Baza nu poate fi zero când exponentul este zero sau negativ.

2. Proprietățile puterilor

Pentru aceeași bază, \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) și \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), dacă \(a\ne0\). De asemenea, \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^nb^n\) și \(\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\), când expresiile sunt definite.

3. Semn și ordine de calcul

Parantezele contează: \((-2)^4=16\), dar \(-2^4=-16\). Exponentul se aplică bazei indicate, iar semnul din fața puterii nu intră în bază decât dacă este cuprins în paranteze.

Definiție esențială. Pentru \(a\ne0\) și \(n\in\mathbb N^*\), \(a^{-n}=\frac1{a^n}\), iar \(a^0=1\).
De reținut.
  • \(a^m a^n=a^{m+n}\).
  • \(a^m:a^n=a^{m-n}\), pentru \(a\ne0\).
  • \((a^m)^n=a^{mn}\).

Exemplu explicat pas cu pas

Simplifică \(\frac{2^3\cdot2^{-5}}{2^{-1}}\).

  1. La numărător adunăm exponenții: \(2^3\cdot2^{-5}=2^{-2}\).
  2. La împărțire scădem exponenții: \(2^{-2}:2^{-1}=2^{-1}\).
  3. Transformăm exponentul negativ: \(2^{-1}=\frac12\).

Concluzie: Valoarea expresiei este \(\frac12\).

Greșeală frecventă. Nu transforma \(a^{-n}\) în \(-a^n\). Exponentul negativ înseamnă inversare, nu schimbarea semnului.

Verificare rapidă

  • Calculează \(5^0\).
  • Scrie \(3^{-2}\) ca fracție.
  • Simplifică \(x^7:x^3\), pentru \(x\ne0\).

Exerciții

1
Calculează \(7^0\).

\(a^0=1,\ a\ne0\)

2
Scrie \(5^{-2}\) ca fracție.

\(a^{-n}=\frac1{a^n}\)

3
Simplifică \(x^4\cdot x^7\).

\(a^m a^n=a^{m+n}\)

4
Simplifică \(\frac{a^8}{a^3}\), pentru \(a\ne0\).

\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

5
Calculează \((-2)^5\).
6
Compară \((-3)^4\) și \(-3^4\).
7
Simplifică \((2^3)^4\).

\((a^m)^n=a^{mn}\)

8
Simplifică \(\frac{3^{-2}\cdot3^5}{3}\).

\(a^m a^n=a^{m+n},\ a^m:a^n=a^{m-n}\)

9
Calculează \(\left(\frac23\right)^{-3}\).

\(\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n\)

10
Determină \(n\in\mathbb Z\) dacă \(2^{n+1}=32\).
Înapoi Următor