Două triunghiuri asemenea au aceeași formă, chiar dacă dimensiunile diferă. Unghiurile corespunzătoare sunt congruente, iar laturile corespunzătoare sunt proporționale.
1. Definiție și coeficient
Dacă \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\), atunci unghiurile corespunzătoare sunt congruente și rapoartele laturilor corespunzătoare au aceeași valoare \(k\), numită coeficient de asemănare.
2. Criterii de asemănare
Asemănarea se poate stabili prin două unghiuri corespunzătoare congruente (UU), prin proporționalitatea a două laturi și unghiul cuprins congruent sau prin proporționalitatea tuturor celor trei laturi.
3. Consecințe
Perimetrele triunghiurilor asemenea sunt în același raport ca laturile corespunzătoare. Construcțiile cu drepte paralele oferă frecvent perechi de triunghiuri asemenea.
Definiție esențială. \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\) dacă unghiurile corespunzătoare sunt congruente și \(\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}=k\).
De reținut.
Ordinea literelor din notația de asemănare indică vârfurile corespunzătoare.
Criteriul UU este suficient pentru asemănare.
Raportul perimetrelor este coeficientul de asemănare.
Exemplu explicat pas cu pas
Două triunghiuri asemenea au \(k=\frac32\). Dacă o latură a celui mic este \(8\) cm, află latura corespunzătoare a celui mare.
Coeficientul \(\frac32\) înseamnă mare/mic.
Înmulțim \(8\) cu \(\frac32\).
Obținem \(12\) cm.
Concluzie: Latura corespunzătoare este \(12\) cm.
Greșeală frecventă. Nu presupune că laturile aflate în aceeași poziție în desen sunt automat corespunzătoare; folosește unghiurile și ordinea notației.
Verificare rapidă
Ce criteriu folosește două unghiuri?
Ce se întâmplă cu perimetrul la coeficient \(k=2\)?
Sunt toate triunghiurile echilaterale asemenea?
Exerciții
1
Două triunghiuri au câte două unghiuri corespunzătoare de \(40^\circ\) și \(70^\circ\). Sunt asemenea?
2
În două triunghiuri asemenea, raportul mare/mic este \(2\). Dacă o latură a celui mic este \(7\) cm, află latura corespunzătoare a celui mare.
3
Triunghiurile au laturile \(3,4,5\) și \(6,8,10\). Sunt asemenea?
4
Două triunghiuri asemenea au coeficientul \(k=\frac32\). Dacă perimetrul celui mic este \(20\) cm, află perimetrul celui mare.
5
În \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\), ordinea literelor indică \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Dacă \(AB=9\), \(DE=6\), \(EF=10\), află \(BC\).
6
Două triunghiuri dreptunghice au câte un unghi ascuțit de \(35^\circ\). Sunt asemenea?
7
Un triunghi cu laturile \(5,7,9\) este asemenea cu unul în care latura corespunzătoare lui \(5\) este \(15\). Află celelalte laturi.
8
În două triunghiuri asemenea, o latură de \(12\) cm corespunde uneia de \(8\) cm. Dacă o altă latură a primului este \(18\) cm, află corespondenta din al doilea.
9
Două triunghiuri au laturile din jurul unui unghi congruent în rapoartele \(4/6\) și \(10/15\). Sunt asemenea?
10
Un triunghi are laturile \(6,8,10\). Un triunghi asemenea are perimetrul \(60\). Află laturile lui.