Translația deplasează fiecare punct al planului cu aceeași variație pe orizontală și verticală. Vectorul descrie această deplasare prin direcție, sens și lungime sau, în coordonate, prin două componente.
1. Translația în coordonate
Translația definită de \(x'=x+a,\ y'=y+b\) mută orice punct cu același vector \((a,b)\). Ea păstrează distanțele, unghiurile și forma figurilor.
2. Vectorul
Vectorul \(\overrightarrow{AB}\) este un segment orientat de la \(A\) la \(B\). Coordonatele sale sunt \((x_B-x_A,\ y_B-y_A)\). Vectorii cu aceleași coordonate sunt egali indiferent de locul în care sunt reprezentați.
3. Modul și relații
Modulul vectorului \((u,v)\) este \(\sqrt{u^2+v^2}\). Vectorii pot fi coliniari, de același sens sau de sens opus. Vectorul nul are coordonatele \((0,0)\).
Definiție esențială. Dacă \(A(x_A,y_A)\) și \(B(x_B,y_B)\), atunci \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\) și \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
De reținut.
Translația \((a,b)\): \(x'=x+a,\ y'=y+b\).
Coordonatele vectorului se calculează „vârf minus origine”.
Translația păstrează lungimile și unghiurile.
Exemplu explicat pas cu pas
Pentru \(A(1,2)\), \(B(5,-1)\), află \(\overrightarrow{AB}\).
Scădem coordonatele originii din cele ale vârfului.
\(\overrightarrow{AB}=(5-1,-1-2)\).
Rezultă \((4,-3)\).
Concluzie: \(\overrightarrow{AB}=(4,-3)\), iar modulul este \(5\).