A11 - Inecuații cu o necunoscută. Sisteme de inecuații cu o necunoscută

Inecuații cu o necunoscută. Sisteme de inecuații cu o necunoscută

Inecuațiile descriu mulțimi de valori, de obicei intervale. Transformările seamănă cu cele ale ecuațiilor, dar înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ inversează sensul inegalității.

1. Transformări echivalente

Putem adăuga sau scădea aceeași expresie în ambii membri fără a schimba sensul. La înmulțirea sau împărțirea cu un număr pozitiv sensul se păstrează, iar cu un număr negativ se inversează.

2. Soluția ca interval

Rezultatul \(x<3\) se scrie \((-\infty,3)\), iar \(x\ge-2\) se scrie \([-2,+\infty)\). Alegerea parantezei depinde de caracterul strict sau nestrict al inegalității.

3. Sisteme de inecuații

Pentru un sistem, necunoscuta trebuie să satisfacă toate inecuațiile simultan. De aceea mulțimea soluțiilor este intersecția mulțimilor-soluție ale inecuațiilor componente.

Definiție esențială. Mulțimea soluțiilor unei inecuații este totalitatea valorilor necunoscutei pentru care inegalitatea devine adevărată.
De reținut.
  • Dacă \(a-b\).
  • La împărțirea cu un număr negativ se inversează semnul inegalității.
  • Sistem de inecuații \(\Rightarrow\) intersecția soluțiilor.

Exemplu explicat pas cu pas

Rezolvă \(\begin{cases}2x-1>3\\x\le5\end{cases}\).

  1. Prima inecuație: \(2x>4\), deci \(x>2\).
  2. A doua cere \(x\le5\).
  3. Intersecția este \((2,5]\).

Concluzie: Soluția sistemului este \((2,5]\).

Greșeală frecventă. Cel mai frecvent eșec este uitarea inversării semnului când împărțim la un număr negativ.

Verificare rapidă

  • Rezolvă \(-2x<6\).
  • Scrie ca interval \(x>4\).
  • Ce operație de mulțimi corespunde unui sistem de inecuații?

Exerciții

1
Rezolvă \(x+3>8\).
2
Rezolvă \(4x\le20\).
3
Rezolvă \(-3x<12\).
4
Rezolvă \(2x-5\ge9\).
5
Rezolvă \(3(x-2)<2x+4\).
6
Rezolvă sistemul \(\begin{cases}x>-2\\x\le4\end{cases}\).
7
Rezolvă sistemul \(\begin{cases}2x+1\ge5\\3x-2<10\end{cases}\).
8
Rezolvă \(-2(3x-1)\ge10\).
9
Determină numerele întregi care satisfac \(-1
10
Rezolvă \(\frac{x-1}{2}-\frac{x+1}{3}\ge0\).
Înapoi Următor