Teorema lui Pitagora exprimă relația fundamentală dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Ea permite calcularea unei laturi, verificarea caracterului dreptunghic și deducerea formulei distanței în plan.
1. Relația pitagoreică
Dacă \(a\) și \(b\) sunt catetele, iar \(c\) ipotenuza, atunci \(a^2+b^2=c^2\). Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă.
2. Calculul unei laturi
Dacă lipsesc ipotenuza, folosim \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Dacă lipsește o catetă, folosim \(a=\sqrt{c^2-b^2}\), cu condiția \(c>b\).
3. Aplicații în coordonate
Pentru punctele \(A(x_1,y_1)\) și \(B(x_2,y_2)\), diferențele de coordonate formează catetele unui triunghi dreptunghic, de unde \(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
Definiție esențială. Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, \(c^2=a^2+b^2\), unde \(c\) este ipotenuza.
De reținut.
Ipotenuza este latura opusă unghiului de \(90^\circ\).
Pentru catetă: \(a^2=c^2-b^2\).
Distanța în plan se deduce direct din Pitagora.
Exemplu explicat pas cu pas
Un triunghi dreptunghic are catetele \(6\) cm și \(8\) cm. Află ipotenuza.
\(c^2=6^2+8^2\).
\(c^2=36+64=100\).
\(c=\sqrt{100}=10\) cm.
Concluzie: Ipotenuza are \(10\) cm.
Greșeală frecventă. Nu aduna pur și simplu lungimile catetelor. Teorema operează cu pătratele lungimilor.
Verificare rapidă
Catete 5 și 12: ipotenuza?
Ipotenuză 13, catetă 5: cealaltă catetă?
Care este formula distanței dintre două puncte?
Exerciții
1
Catetele unui triunghi dreptunghic sunt \(3\) și \(4\). Află ipotenuza.
\(c^2=a^2+b^2\)
2
Catetele sunt \(8\) și \(15\). Află ipotenuza.
3
Ipotenuza este \(13\), iar o catetă este \(5\). Află cealaltă catetă.
4
Verifică dacă laturile \(6,8,10\) pot forma un triunghi dreptunghic.
5
Verifică dacă \(5,6,8\) formează un triunghi dreptunghic.
6
Află diagonala unui dreptunghi cu laturile \(9\) cm și \(12\) cm.
7
Află distanța dintre \(A(1,2)\) și \(B(4,6)\).
\(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
8
Un pătrat are latura \(7\) cm. Află diagonala.
9
O scară de \(10\) m este sprijinită de un perete; baza este la \(6\) m de perete. La ce înălțime ajunge?
10
Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de \(6\) cm. Află ipotenuza.