G10 - Elemente de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Elemente de trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Funcțiile trigonometrice ale unui unghi ascuțit sunt rapoarte între laturile unui triunghi dreptunghic. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta permit legarea măsurii unghiului de lungimi.

1. Sinus și cosinus

Pentru un unghi ascuțit \(\alpha\), \(\sin\alpha=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}\), iar \(\cos\alpha=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}\). Ambele valori sunt pozitive și mai mici decât \(1\).

2. Tangenta și cotangenta

\(\tan\alpha=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}\), iar \(\cot\alpha=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}\). Pentru un unghi ascuțit, cele două sunt reciproce.

3. Unghiuri speciale

În triunghiurile de \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\) și \(45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ\), rapoartele laturilor dau valori exacte importante pentru funcțiile trigonometrice.

Definiție esențială. \(\sin\alpha=\frac{o}{h}\), \(\cos\alpha=\frac{a}{h}\), \(\tan\alpha=\frac{o}{a}\), \(\cot\alpha=\frac{a}{o}\), unde \(o\) este cateta opusă, \(a\) cea alăturată, iar \(h\) ipotenuza.
De reținut.
  • \(\sin30^\circ=\frac12\).
  • \(\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\).
  • \(\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\) pentru unghiuri ascuțite.

Exemplu explicat pas cu pas

Într-un triunghi dreptunghic, față de \(\alpha\), cateta opusă este \(6\), iar ipotenuza \(10\). Află \(\sin\alpha\).

  1. Folosim definiția sinusului: opusă/ipotenuză.
  2. \(\sin\alpha=\frac6{10}\).
  3. Simplificăm: \(\sin\alpha=\frac35\).

Concluzie: \(\sin\alpha=\frac35\).

Greșeală frecventă. Cateta „opusă” și „alăturată” depind de unghiul ales. Ipotenuza rămâne aceeași.

Verificare rapidă

  • Ce raport definește cosinusul?
  • Care este \(\tan45^\circ\)?
  • Dacă \(\sin\alpha=\frac12\) și \(\alpha\) este ascuțit special, ce unghi este?

Exerciții

1
Într-un triunghi dreptunghic, față de \(\alpha\), cateta opusă este \(3\), ipotenuza \(5\). Află \(\sin\alpha\).

\(\sin\alpha=\frac{o}{h}\)

2
Față de \(\alpha\), cateta alăturată este \(4\), ipotenuza \(5\). Află \(\cos\alpha\).

\(\cos\alpha=\frac{a}{h}\)

3
Cateta opusă este \(6\), cea alăturată \(8\). Află \(\tan\alpha\).

\(\tan\alpha=\frac{o}{a}\)

4
Pentru aceeași configurație \(o=6,a=8\), află \(\cot\alpha\).

\(\cot\alpha=\frac{a}{o}\)

5
Calculează \(\sin30^\circ\).
6
Calculează \(\tan45^\circ\).
7
Într-un triunghi dreptunghic de tip \(3-4-5\), pentru unghiul opus catetei \(3\), află \(\sin,\cos,\tan,\cot\).
8
Dacă \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\) și ipotenuza este \(26\), află cateta opusă.
9
Dacă \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\) și ipotenuza este \(39\), află cateta alăturată.
10
Într-un triunghi dreptunghic, \(\tan\alpha=\frac34\), iar cateta alăturată este \(12\). Află cateta opusă și ipotenuza.
Înapoi Următor