Vectorii se adună și se scad componentă cu componentă, pot fi înmulțiți cu numere reale și pot fi descompuși după doi vectori necoliniari. Manualul introduce și produsul scalar, util pentru recunoașterea perpendicularității.
1. Adunare și scădere
Pentru \(\vec a=(a_1,a_2)\) și \(\vec b=(b_1,b_2)\), avem \(\vec a+\vec b=(a_1+b_1,a_2+b_2)\) și \(\vec a-\vec b=(a_1-b_1,a_2-b_2)\). Geometric, suma poate fi construită prin regula triunghiului.
2. Înmulțirea cu scalar și coliniaritate
Pentru \(k\in\mathbb R\), \(k\vec a=(ka_1,ka_2)\). Vectorii \(\vec a\) și \(k\vec a\) sunt coliniari; sensul se păstrează pentru \(k>0\) și se inversează pentru \(k<0\). Doi vectori nenuli sunt coliniari dacă unul este multiplu scalar al celuilalt.
3. Produs scalar și perpendicularitate
Produsul scalar al vectorilor \((a_1,a_2)\) și \((b_1,b_2)\) este \(a_1b_1+a_2b_2\). În plan, două direcții sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul scalar al unor vectori directori nenuli este zero.
Definiție esențială. \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2\). Dacă \(\vec a\cdot\vec b=0\) pentru vectori nenuli, direcțiile lor sunt perpendiculare.
De reținut.
\(\vec a+\vec b=(a_1+b_1,a_2+b_2)\).
\(k\vec a=(ka_1,ka_2)\).
\(\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0\) pentru vectori nenuli.
Exemplu explicat pas cu pas
Fie \(\vec a=(2,3)\), \(\vec b=(3,-2)\). Verifică perpendicularitatea.
Calculăm produsul scalar.
\(\vec a\cdot\vec b=2\cdot3+3\cdot(-2)=6-6=0\).
Produsul scalar este zero, deci direcțiile sunt perpendiculare.
Concluzie: \(\vec a\perp\vec b\).
Greșeală frecventă. Produsul scalar este un număr, nu un vector. Nu îl confunda cu înmulțirea unui vector cu un scalar.
Verificare rapidă
Adună \((1,2)+(3,-1)\).
Calculează \(3(2,-4)\).
Ce condiție algebrică arată perpendicularitatea?
Exerciții
1
Calculează \((2,3)+(4,-1)\).
\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\)
2
Calculează \((5,2)-(1,7)\).
3
Calculează \(3(2,-4)\).
\(k(a,b)=(ka,kb)\)
4
Fie \(\vec a=(1,2)\), \(\vec b=(3,-1)\). Calculează \(2\vec a-\vec b\).
5
Sunt coliniari vectorii \((2,3)\) și \((6,9)\)?
6
Sunt coliniari vectorii \((2,3)\) și \((4,5)\)?
7
Calculează produsul scalar al vectorilor \((2,-3)\) și \((4,5)\).
\(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2\)
8
Verifică dacă vectorii \((3,4)\) și \((4,-3)\) sunt perpendiculari.
9
Determină \(m\) astfel încât vectorii \((2,3)\) și \((m,-4)\) să fie perpendiculari.
10
Descompune vectorul \((5,-2)\) după vectorii unitari \(\vec e_1=(1,0)\), \(\vec e_2=(0,1)\).