Descompunerea în factori transformă o sumă algebrică într-un produs. Această tehnică simplifică expresii, rezolvă ecuații și pregătește lucrul cu rapoarte algebrice.
1. Factor comun
Dacă mai mulți termeni au un factor comun, îl scoatem în fața parantezei: \(ab+ac=a(b+c)\). Este primul procedeu care trebuie verificat.
2. Folosirea formulelor
Identitățile de calcul prescurtat pot fi citite invers: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), iar \(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\).
3. Gruparea termenilor
Uneori termenii se grupează astfel încât fiecare grup să aibă un factor comun, iar după prima factorizare să apară un nou factor comun. De exemplu \(ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)\).
Definiție esențială. A descompune o expresie în factori înseamnă a o scrie ca produs de două sau mai multe expresii.
De reținut.
Caută mai întâi factorul comun maxim.
Recunoaște diferența de pătrate și pătratele perfecte.
La grupare, urmărește apariția aceleiași paranteze.
Exemplu explicat pas cu pas
Factorizează \(6x^2-24\).
Scoatem factorul comun \(6\): \(6(x^2-4)\).
În paranteză avem o diferență de pătrate: \(x^2-2^2\).
Aplicăm formula: \(6(x-2)(x+2)\).
Concluzie: \(6x^2-24=6(x-2)(x+2)\).
Greșeală frecventă. Nu opri factorizarea prea devreme. După scoaterea factorului comun, verifică dacă expresia rămasă se mai poate descompune.
Verificare rapidă
Factorizează \(5x+10\).
Factorizează \(x^2-81\).
Ce factor comun au \(12a^2b\) și \(18ab^2\)?
Exerciții
1
Factorizează \(6x+18\).
2
Factorizează \(4a^2b-8ab^2\).
3
Factorizează \(x^2-36\).
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
4
Factorizează \(x^2+6x+9\).
5
Factorizează \(ax+ay+bx+by\).
6
Factorizează \(3x^2-27\) complet.
7
Factorizează \(2x^2+8x+8\).
8
Rezolvă prin factorizare \(x^2-5x=0\).
9
Factorizează \(x^3+x^2-4x-4\).
10
Arată că \(n^2-1\) este produsul a două numere întregi consecutive cu aceeași paritate ca distanță 2.