A06 - Formule de calcul prescurtat

Formule de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat permit dezvoltarea sau recunoașterea rapidă a unor produse speciale. Ele sunt utile atât la calcule numerice, cât și la transformarea expresiilor algebrice.

1. Pătratul sumei și al diferenței

Prin distributivitate obținem \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) și \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Termenul din mijloc este de două ori produsul termenilor.

2. Diferența de pătrate

Produsul conjugatelor este \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Formula poate fi folosită în ambele sensuri: pentru dezvoltare sau pentru factorizare.

3. Cuburile

Manualul reamintește și relațiile pentru suma și diferența cuburilor: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) și \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Definiție esențială. Formulele de calcul prescurtat sunt identități care exprimă produse algebrice speciale prin sume sau diferențe echivalente.
De reținut.
  • \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\).
  • \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
  • \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\).

Exemplu explicat pas cu pas

Calculează mental \(103^2\).

  1. Scriem \(103=100+3\).
  2. Aplicăm \((a+b)^2\): \(100^2+2\cdot100\cdot3+3^2\).
  3. Obținem \(10000+600+9=10609\).

Concluzie: \(103^2=10609\).

Greșeală frecventă. În \((a-b)^2\), ultimul termen este \(+b^2\), nu \(-b^2\). Semnul minus apare doar la termenul \(2ab\).

Verificare rapidă

  • Dezvoltă \((x+5)^2\).
  • Factorizează \(x^2-49\).
  • Calculează \(51\cdot49\) folosind diferența de pătrate.

Exerciții

1
Dezvoltă \((x+4)^2\).

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

2
Dezvoltă \((2a-3)^2\).

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

3
Calculează \((y-5)(y+5)\).

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

4
Calculează mental \(99^2\).
5
Calculează \(47\cdot53\) fără înmulțire directă.
6
Factorizează \(a^2+10a+25\).

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

7
Factorizează \(9x^2-16\).

\(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)

8
Factorizează \(x^3-8\).

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

9
Calculează \(1001\cdot999\).
10
Simplifică \((x+2)^2-(x-2)^2\).
Înapoi Următor