Radicalul de ordin doi este legat de pătratul unui număr. În această lecție folosim proprietățile radicalilor pentru simplificare, introducerea sau scoaterea factorilor de sub radical, comparare și raționalizarea unor numitori simpli.
1. Rădăcina pătrată
Pentru \(a\ge0\), \(\sqrt a\) este numărul nenegativ al cărui pătrat este \(a\). De aceea \((\sqrt a)^2=a\), iar \(\sqrt{a^2}=|a|\), nu neapărat \(a\).
2. Produse și câturi de radicali
Pentru \(a,b\ge0\), \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\). Pentru \(a\ge0\), \(b>0\), \(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\). Aceste relații permit simplificarea radicalilor prin identificarea factorilor pătrați perfecți.
3. Transformări utile
Un factor pozitiv poate fi introdus sub radical prin \(c\sqrt a=\sqrt{c^2a}\). La numitori de forma \(\sqrt b\), înmulțirea cu \(\sqrt b/\sqrt b\) elimină radicalul din numitor.
Definiție esențială. Pentru \(a\ge0\), \(\sqrt a=b\) înseamnă \(b\ge0\) și \(b^2=a\).
De reținut.
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\), pentru \(a,b\ge0\).
\(\sqrt{a^2}=|a|\).
\(\frac1{\sqrt b}=\frac{\sqrt b}{b}\), pentru \(b>0\).
Greșeală frecventă. Nu este adevărat în general că \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\). Proprietatea radicalului se aplică produselor și câturilor, nu sumelor.
Verificare rapidă
Simplifică \(\sqrt{50}\).
Ce este \(\sqrt{x^2}\)?
Raționalizează \(\frac3{\sqrt3}\).
Exerciții
1
Calculează \(\sqrt{81}\).
2
Simplifică \(\sqrt{48}\).
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\)
3
Calculează \(\sqrt{\frac{25}{49}}\).
\(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\)
4
Calculează \(\sqrt{(-6)^2}\).
\(\sqrt{a^2}=|a|\)
5
Introdu factorul \(3\) sub radical în \(3\sqrt5\).