Proporționalitatea inversă modelează situații în care produsul a două mărimi rămâne constant. Funcția are forma \(f(x)=\frac{k}{x}\), iar graficul său este o hiperbolă cu două ramuri.
1. Modelul \(xy=k\)
Dacă \(y=\frac{k}{x}\), atunci \(xy=k\). Când una dintre mărimi se multiplică cu un factor nenul, cealaltă se împarte cu același factor pentru a păstra produsul constant.
2. Domeniu și grafic
Valoarea \(x=0\) este exclusă, deci domeniul este \(\mathbb R^*\). Graficul nu intersectează axele și este simetric față de origine.
3. Semnul lui \(k\)
Pentru \(k>0\), ramurile hiperbolei se află în cadranele I și III, iar funcția este descrescătoare pe fiecare dintre intervalele \((-\infty,0)\) și \((0,+\infty)\). Pentru \(k<0\), ramurile sunt în cadranele II și IV.
Definiție esențială. Funcția \(f:\mathbb R^*\to\mathbb R^*\), \(f(x)=\frac{k}{x}\), \(k\ne0\), se numește proporționalitate inversă.
De reținut.
\(x\cdot f(x)=k\).
\(x=0\) nu aparține domeniului.
Semnul lui \(k\) determină cadranele hiperbolei.
Exemplu explicat pas cu pas
Determină \(k\) dacă graficul lui \(f(x)=\frac{k}{x}\) trece prin \(A(3,-4)\).
Punctul este pe grafic, deci \(-4=\frac{k}{3}\).
Înmulțim cu \(3\): \(k=-12\).
Cum \(k<0\), ramurile vor fi în cadranele II și IV.
Concluzie: Funcția este \(f(x)=-\frac{12}{x}\).
Greșeală frecventă. Nu evalua funcția la \(x=0\). Numitorul zero face expresia nedefinită.
Verificare rapidă
Pentru \(k=6\), cât este \(f(2)\)?
În ce cadrane este hiperbola pentru \(k=-5\)?
Ce rămâne constant la două mărimi invers proporționale?
Exerciții
1
Pentru \(f(x)=\frac{12}{x}\), calculează \(f(3)\).
2
Pentru \(f(x)=-\frac8x\), calculează \(f(-2)\).
3
În ce cadrane se află hiperbola \(y=\frac5x\)?
4
În ce cadrane se află hiperbola \(y=-\frac3x\)?
5
Determină \(k\) dacă \(y=\frac{k}{x}\) trece prin \(A(4,3)\).
6
Verifică dacă \(B(-2,-6)\) aparține graficului \(y=\frac{12}{x}\).
7
Două mărimi sunt invers proporționale și \(x=5\) corespunde lui \(y=8\). Află \(y\) pentru \(x=10\).
8
Rezolvă \(\frac{18}{x}=6\), \(x\ne0\).
9
Determină formula proporționalității inverse care trece prin \(A(-3,7)\).
10
Un drum fix de \(240\) km este parcurs cu viteza \(v\) în timpul \(t\). Dacă viteza crește de la \(60\) km/h la \(80\) km/h, cu cât scade timpul?