A13 - Noțiunea de funcție. Recapitulare și completări
Noțiunea de funcție. Recapitulare și completări
O funcție descrie o dependență în care fiecărui element admis din domeniu îi corespunde exact o valoare. Lecția recapitulează domeniul, codomeniul, valorile funcției, zerourile și reprezentările prin formulă, tabel sau grafic.
1. Domeniu și valori
În notația \(f:D\to\mathbb R\), mulțimea \(D\) este domeniul de definiție. Pentru \(x\in D\), valoarea corespunzătoare este \(f(x)\). O regulă nu definește o funcție dacă aceluiași \(x\) îi asociază două valori diferite.
2. Reprezentări
O funcție poate fi descrisă analitic prin formulă, printr-un tabel de valori, printr-o diagramă de corespondențe sau prin grafic. Graficul este mulțimea punctelor \((x,f(x))\).
3. Zerouri și semn
Un zero al funcției este o valoare \(x_0\) pentru care \(f(x_0)=0\). Grafic, zerourile sunt abscisele punctelor în care graficul intersectează axa \(Ox\).
Definiție esențială. O funcție \(f:D\to E\) asociază fiecărui \(x\in D\) un singur element \(f(x)\in E\).
De reținut.
Pentru fiecare \(x\) din domeniu există exact o imagine.
\((x,y)\) aparține graficului dacă și numai dacă \(y=f(x)\).
Zerourile satisfac ecuația \(f(x)=0\).
Exemplu explicat pas cu pas
Pentru \(f(x)=2x-3\), calculează \(f(4)\) și zeroul funcției.
Substituim \(x=4\): \(f(4)=8-3=5\).
Pentru zero impunem \(2x-3=0\).
Rezultă \(x=\frac32\).
Concluzie: \(f(4)=5\), iar zeroul este \(\frac32\).
Greșeală frecventă. Nu confunda \(f(x)\) cu \(f\cdot x\). Notația \(f(x)\) înseamnă valoarea funcției în punctul \(x\).
Verificare rapidă
Ce este domeniul unei funcții?
Este \((2,5)\) pe graficul lui \(f(x)=x+3\)?
Cum găsești un zero al funcției?
Exerciții
1
Pentru \(f(x)=3x+1\), calculează \(f(2)\).
2
Pentru \(g(x)=x^2-4\), calculează \(g(-3)\).
3
Verifică dacă punctul \(A(2,5)\) aparține graficului lui \(f(x)=2x+1\).
4
Găsește zeroul funcției \(f(x)=x-7\).
5
Stabilește domeniul funcției \(f(x)=\frac1{x+4}\).
6
Completează valoarea lipsă: dacă \(f(x)=2x-1\) și \(f(a)=9\), află \(a\).
7
Pentru \(f(x)=|x|\), calculează \(f(-6)\) și \(f(4)\).
8
Din tabelul \(x: -1,0,1,2\), \(f(x): 3,1,-1,-3\), găsește formula liniară a funcției.
9
Stabilește dacă relația „fiecărui număr real \(x\) îi asociem cele două numere \(\pm\sqrt{x^2}\)” definește o funcție \(\mathbb R\to\mathbb R\).