Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă pe ipotenuză creează două triunghiuri mai mici asemenea cu triunghiul inițial. Din această asemănare rezultă relațiile metrice ale înălțimii și catetelor.
1. Proiecțiile pe ipotenuză
Dacă \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), iar \(BD\perp AC\), segmentele \(AD\) și \(DC\) sunt proiecțiile catetelor \(AB\), respectiv \(BC\), pe ipotenuza \(AC\).
2. Teorema înălțimii
Pătratul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este produsul proiecțiilor catetelor: \(BD^2=AD\cdot DC\). Astfel, înălțimea este media geometrică a celor două proiecții.
3. Teorema catetei
Pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete: \(AB^2=AC\cdot AD\), respectiv \(BC^2=AC\cdot DC\).
Definiție esențială. Pentru un triunghi dreptunghic și înălțimea pe ipotenuză: \(h^2=pq\), \(a^2=cp\), \(b^2=cq\), unde \(c=p+q\).
De reținut.
Înălțimea la ipotenuză: \(h=\sqrt{pq}\).
Cateta = media geometrică dintre ipotenuză și proiecția ei.
Identifică atent care proiecție corespunde fiecărei catete.
Exemplu explicat pas cu pas
Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt \(4\) cm și \(9\) cm. Află înălțimea.
Aplicăm teorema înălțimii: \(h^2=4\cdot9\).
\(h^2=36\).
Cum lungimea este pozitivă, \(h=6\) cm.
Concluzie: Înălțimea este \(6\) cm.
Greșeală frecventă. Nu folosi teorema catetei cu proiecția celeilalte catete. Păstrează corespondența dintre catetă și proiecția ei.
Verificare rapidă
Dacă proiecțiile sunt \(1\) și \(16\), cât este \(h\)?
Cum se obține ipotenuza din proiecții?
Ce teoremă folosești pentru \(a^2=cp\)?
Exerciții
1
Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt \(4\) cm și \(9\) cm. Află înălțimea pe ipotenuză.
\(h^2=pq\)
2
Proiecțiile sunt \(5\) cm și \(20\) cm. Află ipotenuza.
3
Ipotenuza este \(12\) cm, iar proiecția unei catete este \(3\) cm. Află pătratul acelei catete.
\(a^2=cp\)
4
Ipotenuza este \(25\) cm, iar proiecția unei catete este \(9\) cm. Află cateta.
5
Proiecțiile sunt \(4\) și \(5\). Află înălțimea.
6
Ipotenuza este \(18\) cm și proiecția unei catete este \(8\) cm. Află cateta.
7
O catetă este \(10\) cm, iar ipotenuza \(20\) cm. Află proiecția acestei catete pe ipotenuză.
8
Înălțimea pe ipotenuză este \(12\) cm, iar o proiecție este \(9\) cm. Află cealaltă proiecție.
9
Proiecțiile catetelor sunt \(9\) și \(16\). Află ambele catete.
10
Proiecțiile sunt \(p=6\) și \(q=24\). Află \(h\) și ipotenuza \(c\).