A02 - Operații aritmetice cu numere reale. Operații cu intervale de numere reale

Operații aritmetice cu numere reale. Operații cu intervale de numere reale

Lecția combină regulile de calcul cu numere reale și limbajul intervalelor. Scopul este să efectuăm corect operațiile, să respectăm ordinea lor și să traducem între reprezentarea pe axă, inegalități și notația de interval.

1. Regulile operațiilor

Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative, \(0\) este element neutru pentru adunare, iar \(1\) pentru înmulțire. Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere. Pentru scădere adunăm opusul, iar pentru împărțire înmulțim cu inversul, când acesta există.

2. Ordinea efectuării operațiilor

Calculăm mai întâi expresiile din paranteze, apoi puterile și radicalii, apoi înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile. Operațiile de același rang se efectuează de la stânga la dreapta.

3. Intervale, reuniune și intersecție

Intervalele descriu porțiuni ale axei reale. Paranteza pătrată arată că extremitatea este inclusă, iar paranteza rotundă că nu este inclusă. Reuniunea \(A\cup B\) cuprinde elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi, iar intersecția \(A\cap B\) pe cele comune.

Definiție esențială. Pentru \(a
De reținut.
  • \([a,b]\) include capetele; \((a,b)\) nu le include.
  • În \((-\infty,a)\) și \((a,+\infty)\), simbolul infinit se scrie mereu cu paranteză rotundă.
  • Pentru două intervale, trasează-le pe aceeași axă înainte de a calcula reuniunea sau intersecția.

Exemplu explicat pas cu pas

Determină \([-4,3)\cap(1,6]\) și \([-4,3)\cup(1,6]\).

  1. Partea comună începe după \(1\) și se termină înainte de \(3\): \((1,3)\).
  2. Împreună, intervalele acoperă fără întrerupere de la \(-4\) inclusiv până la \(6\) inclusiv.
  3. Reuniunea este \([-4,6]\).

Concluzie: \([-4,3)\cap(1,6]=(1,3)\), iar reuniunea este \([-4,6]\).

Greșeală frecventă. Nu confunda reuniunea cu intersecția: reuniunea adună zonele acoperite, intersecția păstrează numai suprapunerea.

Verificare rapidă

  • Scrie ca interval \(x\ge-2\).
  • Calculează \([0,5]\cap(3,8)\).
  • Ce înseamnă punctul gol la capătul unui interval?

Exerciții

1
Calculează \(3,5-7,2+1,7\).
2
Calculează \(\frac34:\frac{9}{10}\).
3
Calculează \(2+\sqrt{16}\cdot3-5\).
4
Scrie ca interval mulțimea \(\{x\in\mathbb R\mid -2
5
Calculează \([-3,5]\cap(1,8)\).
6
Calculează \((-\infty,2]\cup(0,6)\).
7
Calculează \(\frac{2-\sqrt9}{5}+\frac45\).
8
Determină \(A\cap B\), dacă \(A=[-5,1)\) și \(B=[1,4]\).
9
Rezolvă simultan condițiile \(x\ge1\) și \(x\le3\), folosind intervale.
10
Calculează \(\left(2-\frac32\right)^{-1}\).

\(a^{-1}=\frac1a,\ a\ne0\)

Înapoi Următor