A08 - Rapoarte algebrice. Recapitulare și completări
Rapoarte algebrice. Recapitulare și completări
Raportul algebric este o fracție ale cărei numărător și numitor sunt expresii algebrice. Operațiile cu astfel de rapoarte cer atenție la condițiile de existență și la simplificarea prin factorizare.
1. Condiții de existență
Un raport \(\frac{A}{B}\) este definit numai când \(B\ne0\). Valorile care anulează numitorul trebuie excluse înainte de orice simplificare și rămân excluse chiar dacă un factor se reduce.
2. Simplificarea
Pentru a simplifica, descompunem numărătorul și numitorul în factori și reducem factori comuni nenuli. Nu se reduc termeni dintr-o sumă, ci numai factori ai unui produs.
3. Operații
La adunare și scădere aducem rapoartele la același numitor. La înmulțire înmulțim numărătorii și numitorii; la împărțire înmulțim cu inversul celui de-al doilea raport, care trebuie să fie nenul.
Definiție esențială. Un raport algebric are forma \(\frac{A}{B}\), unde \(A\) și \(B\) sunt expresii algebrice și \(B\ne0\).
De reținut.
Stabilește C.E. înainte de simplificare.
\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\), când numitorii sunt nenuli.
\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{AD}{BC}\), cu \(B,C,D\ne0\).
Exemplu explicat pas cu pas
Simplifică \(\frac{x^2-9}{x-3}\).
Condiția de existență este \(x\ne3\).
Factorizăm numărătorul: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
Pentru \(x\ne3\), reducem factorul \(x-3\) și obținem \(x+3\).
Concluzie: Raportul este \(x+3\), cu restricția \(x\ne3\).
Greșeală frecventă. Reducerea unui factor nu anulează restricția inițială. În exemplu, valoarea \(x=3\) rămâne interzisă.
Verificare rapidă
Care este C.E. pentru \(\frac1{x+2}\)?
Simplifică \(\frac{2x}{4x}\), \(x\ne0\).
Ce numitor comun au \(\frac1x\) și \(\frac1{x+1}\)?
Exerciții
1
Stabilește condiția de existență pentru \(\frac{3}{x-5}\).