A01 - Mulțimea numerelor reale

Mulțimea numerelor reale

Numerele reale reunesc numerele raționale și iraționale și permit descrierea tuturor punctelor de pe axa numerelor. Lecția nu urmărește doar memorarea simbolurilor, ci mai ales recunoașterea tipului unui număr, compararea lui și folosirea modulului ca distanță.

1. Cum sunt organizate mulțimile de numere

În manual, lanțul de incluziuni pornește de la numerele naturale și continuă cu numerele întregi, raționale și reale. Un număr rațional poate fi scris ca raport \(\displaystyle\frac{m}{n}\), cu \(m\in\mathbb Z\) și \(n\in\mathbb N^*\). Numerele iraționale sunt numere reale care nu sunt raționale.

Scrierea zecimală ajută la recunoaștere: o dezvoltare zecimală finită sau periodică reprezintă un număr rațional, în timp ce o dezvoltare infinită neperiodică reprezintă un număr irațional. De aceea \(0,375\), \(1,(27)\) și \(-\displaystyle\frac73\) sunt raționale, iar \(\sqrt2\) și \(\pi\) sunt iraționale.

2. Axa numerelor și compararea

Fiecărui număr real îi corespunde un punct al axei și reciproc. Ordinea numerelor devine astfel geometrică: dintre două numere, cel situat mai la dreapta este mai mare. Pentru radicali sau alte valori iraționale putem folosi aproximări zecimale pentru a decide ordinea.

Numerele opuse \(a\) și \(-a\) sunt situate simetric față de origine. Această idee conduce direct la noțiunea de modul.

3. Modulul ca distanță

Modulul \(|a|\) este distanța de la punctul de coordonată \(a\) la origine, deci nu poate fi negativ. Dacă \(a\ge0\), atunci \(|a|=a\); dacă \(a<0\), atunci \(|a|=-a\).

Interpretarea ca distanță este mai utilă decât o regulă mecanică. De exemplu, \(|x|\le3\) înseamnă că punctul \(x\) se află la cel mult 3 unități de origine, deci \(x\in[-3,3]\).

Definiție esențială. \(\mathbb R=\mathbb Q\cup I\), unde \(\mathbb Q\) este mulțimea numerelor raționale, iar \(I=\mathbb R\setminus\mathbb Q\) este mulțimea numerelor iraționale.
De reținut.
  • \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\).
  • Un zecimal finit sau periodic este rațional; un zecimal infinit neperiodic este irațional.
  • \(|a|\) reprezintă distanța de la \(a\) la \(0\); în particular \(|a|\ge0\).

Exemplu explicat pas cu pas

Clasifică numărul \(-\sqrt{49}\), apoi calculează modulul lui.

  1. Calculăm mai întâi radicalul: \(\sqrt{49}=7\).
  2. Rezultă \(-\sqrt{49}=-7\), care este întreg, deci și rațional și real.
  3. Modulul este distanța până la 0: \(|-7|=7\).

Concluzie: Cea mai mică mulțime uzuală este \(\mathbb Z\), iar modulul este \(7\).

Greșeală frecventă. Nu decide că orice expresie care conține un radical este irațională. De exemplu, \(\sqrt{49}=7\) este natural. Simplifică mai întâi expresia și abia apoi clasifică numărul.

Verificare rapidă

  • Este \(0,(3)\) rațional sau irațional?
    Vezi răspunsul

    Rațional. Numărul \(0,(3)=\displaystyle\frac13\).

  • Ce interval descrie condiția \(|x|<5\)?
    Vezi răspunsul

    Intervalul \((-5,5)\).

  • Care dintre \(-\sqrt9\) și \(-2,8\) este mai mare?
    Vezi răspunsul

    \(-2,8\) este mai mare, deoarece \(-\sqrt9=-3\), iar \(-2,8>-3\).

Exerciții

1
Indică cea mai mică mulțime dintre \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,I\) în care se află \(7\).
2
Clasifică numărul \(-\displaystyle\frac{11}{3}\) în cea mai mică mulțime dintre \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,I\).
3
Stabilește dacă \(0,(27)\) este rațional sau irațional.
4
Compară \(\sqrt2\) și \(1,42\).
5
Calculează \(|3-\sqrt5|\).
6
Scrie sub formă de interval mulțimea \(\{x\in\mathbb R\mid |x|\le4\}\).
7
Scrie \(0,(18)\) ca fracție ireductibilă.

\(0,(\overline{a_1a_2\ldots a_n})=\displaystyle\frac{\overline{a_1a_2\ldots a_n}}{99\ldots9}\)

8
Ordonează crescător numerele \(-3,\sqrt7,2\sqrt2,3\).
9
Rezolvă în \(\mathbb R\) condiția \(|x|>3\).
10
Stabilește dacă afirmația „câtul a două numere iraționale nenule este întotdeauna irațional” este adevărată. Justifică.
Înapoi Următor