A18 - Inecuații și sisteme de inecuații de gradul I cu o necunoscută. Recapitulare și completări

Inecuații și sisteme de inecuații de gradul I cu o necunoscută. Recapitulare și completări

Inecuațiile descriu intervale de valori, nu doar valori izolate. Diferența critică față de ecuații este comportamentul la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ: sensul inegalității trebuie inversat.

1. Inecuații echivalente

Putem aduna aceeași expresie în ambii membri fără a schimba sensul. Dacă înmulțim sau împărțim cu un număr pozitiv, sensul rămâne; dacă numărul este negativ, sensul se inversează.

Această regulă se explică prin ordinea numerelor: de exemplu \(2<5\), dar după înmulțirea cu \(-1\) obținem \(-2>-5\).

2. Răspunsul ca interval

Soluțiile unei inecuații de gradul I formează de regulă o semidreaptă sau, în cazuri speciale, întreaga mulțime reală ori mulțimea vidă. Semnele stricte \(<,>\) dau capăt deschis, iar \(\le,\ge\) dau capăt inclus.

Pentru o inecuație dublă putem lucra simultan sau o putem scrie ca sistem.

3. Sisteme de inecuații

Soluția unui sistem este intersecția mulțimilor de soluții. După ce rezolvi fiecare inecuație separat, trebuie să păstrezi doar valorile care satisfac toate condițiile.

Reprezentarea pe axă face intersecția mai ușor de văzut și reduce erorile la capetele intervalelor.

Definiție esențială. Inecuațiile \(ax+b<0\), \(ax+b\le0\), \(ax+b>0\), \(ax+b\ge0\), cu \(a\ne0\), sunt inecuații de gradul I cu o necunoscută.
De reținut.
  • La împărțirea cu un număr negativ, inversează semnul inegalității.
  • Scrie soluția ca interval și verifică dacă punctul de frontieră se include.
  • La sistem, răspunsul este intersecția soluțiilor.

Exemplu explicat pas cu pas

Rezolvă \(-3x+6<0\).

  1. Scădem 6: \(-3x<-6\).
  2. Împărțim la \(-3\). Fiind număr negativ, schimbăm sensul: \(x>2\).
  3. Semnul este strict, deci \(2\) nu se include.

Concluzie: \(S=(2,+\infty)\).

Greșeală frecventă. Cea mai frecventă eroare este păstrarea sensului când se împarte la un număr negativ. Scrie explicit operația făcută; astfel vezi imediat dacă trebuie inversat semnul.

Verificare rapidă

  • Ce se întâmplă cu \(<\) când împărțim la \(-5\)?
    Vezi răspunsul

    Sensul se inversează: \(<\) devine \(>\).

  • Cum se scrie \(x\le3\) ca interval?
    Vezi răspunsul

    \(( -\infty,3]\).

  • Ce operație între mulțimi apare la un sistem?
    Vezi răspunsul

    Intersecția mulțimilor de soluții.

Exerciții

1
Rezolvă \(x+3>7\).
2
Rezolvă \(2x\le10\).
3
Rezolvă \(-4x>12\).
4
Rezolvă \(3x-5\ge x+1\).
5
Rezolvă \(5-2x<11\).
6
Rezolvă \(-2<2x+1<5\).
7
Rezolvă sistemul \(\begin{cases}x>1\\x\le5\end{cases}\).
8
Rezolvă sistemul \(\begin{cases}2x-1\ge3\\3x+2<14\end{cases}\).
9
Rezolvă \(|x-4|<2\).

\(\displaystyle \(|u|<a\Longleftrightarrow -a<u<a\), pentru \(a>0\).\)

10
Determină numărul minim natural \(x\) pentru care \(200+10x<50+15x\).
Înapoi Următor