A13 - Ecuații de forma \(ax+b=0,\ a,b\in\mathbb R\). Recapitulare și completări

Ecuații de forma \(ax+b=0,\ a,b\in\mathbb R\). Recapitulare și completări

Rezolvarea unei ecuații înseamnă determinarea tuturor valorilor care o transformă într-o egalitate adevărată. Transformările trebuie să păstreze mulțimea soluțiilor, de aceea vorbim despre ecuații echivalente și despre domeniul valorilor admisibile.

1. Ecuație, soluție, DVA

O ecuație este o egalitate între expresii care conțin necunoscuta. Înainte de transformări verificăm unde au sens expresiile; această mulțime este DVA.

Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Putem aduna aceeași expresie în ambii membri sau îi putem înmulți/împărți cu o expresie nenulă pe domeniul considerat.

2. Ecuația de gradul I

Pentru \(ax+b=0\), dacă \(a\ne0\), există soluția unică \(x=-\displaystyle\frac ba\). Dacă \(a=0\), ecuația devine \(b=0\): pentru \(b=0\) orice număr din DVA este soluție, iar pentru \(b\ne0\) nu există soluții.

Aceste cazuri sunt importante mai ales în ecuații cu parametru, unde coeficientul lui \(x\) poate deveni zero pentru anumite valori.

3. Ecuații reductibile la gradul I

Desfacerea parantezelor, reducerea termenilor asemenea și uneori o substituție pot transforma o ecuație mai complicată într-una liniară. Fiecare pas trebuie justificat și, dacă apar restricții, soluția finală se verifică în DVA.

Definiție esențială. Ecuația \(ax+b=0\), \(a\ne0\), este de gradul I și are soluția unică \(x=-\displaystyle\frac ba\).
De reținut.
  • Determină DVA înainte de transformări atunci când există restricții.
  • Fă aceeași operație validă în ambii membri.
  • Dacă ajungi la \(0=0\), toate valorile din DVA sunt soluții; dacă ajungi la o egalitate falsă, nu există soluții.

Exemplu explicat pas cu pas

Rezolvă \(2(x-3)+5=x+4\).

  1. Desfacem paranteza: \(2x-6+5=x+4\), deci \(2x-1=x+4\).
  2. Scădem \(x\) din ambii membri: \(x-1=4\).
  3. Adunăm 1: \(x=5\).
  4. Verificare: \(2(5-3)+5=9\), iar \(5+4=9\).

Concluzie: \(S=\{5\}\).

Greșeală frecventă. Nu împărți o ecuație cu o expresie care ar putea fi zero fără să discuți cazul respectiv. O astfel de împărțire poate elimina soluții.

Verificare rapidă

  • Ce se întâmplă dacă \(a=0,b\ne0\)?
    Vezi răspunsul

    Ecuația devine \(b=0\), falsă când \(b\ne0\), deci nu are soluții.

  • De ce verificăm DVA?
    Vezi răspunsul

    Ca să excludem valorile pentru care expresiile din ecuație nu au sens.

  • Ce înseamnă ecuații echivalente?
    Vezi răspunsul

    Au aceeași mulțime de soluții.

Exerciții

1
Rezolvă \(3x-12=0\).
2
Rezolvă \(5-2x=11\).
3
Rezolvă \(4(x-1)=2x+6\).
4
Rezolvă \(3(x+2)-2(x-1)=10\).
5
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x-1}{3}=5\).
6
Rezolvă \(2(x-3)+4=2x-2\).
7
Rezolvă \(3(x+1)=3x+5\).
8
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x+1}{x-2}=0\).
9
Rezolvă în funcție de \(m\): \((m-2)x=6\).

\(\displaystyle Pentru ecuații cu parametru, discută separat cazul în care coeficientul necunoscutei este zero.\)

10
Rezolvă \(0,25(8x+4)+5=2(x+1)+4\).
Înapoi Următor