Sfera este mulțimea punctelor din spațiu aflate la aceeași distanță \(R\) de un punct fix \(O\), numit centru. Sfera este suprafața, iar bila este sfera împreună cu interiorul ei.
Elemente
Orice segment care unește centrul cu un punct al sferei este o rază. O coardă unește două puncte ale sferei, iar o coardă care trece prin centru este diametru.
Interiorul sferei este format din punctele aflate la distanță mai mică decât \(R\) de centru, iar exteriorul din punctele aflate la distanță mai mare decât \(R\).
Secțiuni plane
Intersecția unei sfere cu un plan este un cerc. Dacă planul trece prin centrul sferei, cercul obținut este un cerc mare și are aceeași rază \(R\) ca sfera.
Pentru un plan aflat la distanța \(d\) de centrul sferei, raza \(\rho\) a cercului de secțiune satisface \(\rho^2+d^2=R^2\), prin teorema lui Pitagora.
Aria sferei și volumul bilei
Manualul indică formulele \(A=4\pi R^2\) pentru aria sferei și \(V=\displaystyle\frac43\pi R^3\) pentru volumul corpului sferic.
Aria se măsoară în unități pătrate, iar volumul în unități cubice. Dacă raza se dublează, aria se multiplică de 4, iar volumul de 8.
Definiție esențială. O sferă de centru \(O\) și rază \(R\) este mulțimea punctelor din spațiu situate la distanța \(R\) de \(O\). Sfera împreună cu interiorul ei formează bila.
De reținut.
Diametrul este \(D=2R\).
Aria sferei: \(A=4\pi R^2\).
Volumul bilei: \(V=\displaystyle\frac43\pi R^3\).
Pentru o secțiune plană: \(\rho^2+d^2=R^2\).
Exemplu rezolvat
O sferă are raza \(6\) cm. Determină aria sferei și volumul bilei.
Aria este \(A=4\pi\cdot6^2=144\pi\text{ cm}^2\).
Volumul este \(V=\displaystyle\frac43\pi\cdot6^3=\displaystyle\frac43\pi\cdot216=288\pi\text{ cm}^3\).