Unghiul înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt coarde. Proprietatea fundamentală este că măsura lui este jumătate din măsura arcului interceptat; de aici rezultă rapid multe relații de unghiuri.
1. Unghi la centru și unghi înscris
Unghiul la centru are vârful în centrul cercului și măsura egală cu măsura arcului corespunzător. Unghiul înscris care subîntinde același arc are măsura de două ori mai mică.
Dacă unghiul la centru \(AOB\) este de \(100^\circ\), orice unghi înscris care subîntinde arcul mic \(AB\) are \(50^\circ\).
2. Unghiuri pe același arc
Toate unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente. Poziția vârfului pe arcul opus nu schimbă măsura unghiului.
Această proprietate este foarte utilă în demonstrații: în loc să calculăm fiecare unghi separat, identificăm arcul comun.
3. Diametrul și unghiul drept
Un semicerc are \(180^\circ\), deci un unghi înscris care subîntinde un diametru are \(90^\circ\). Reciproc, dacă un triunghi înscris are un unghi drept, latura opusă acelui unghi este diametru al cercului circumscris.
Definiție esențială. Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde.
Unghiurile înscrise pe același arc sunt congruente.
Unghiul înscris într-un semicerc este drept.
Exemplu explicat pas cu pas
Arcul \(AB\) are \(120^\circ\). Află unghiul înscris \(ACB\) care îl subîntinde.
Identificăm că unghiul este înscris și interceptă arcul \(AB\).
Aplicăm teorema: măsura unghiului este jumătate din măsura arcului.
\(120^\circ:2=60^\circ\).
Concluzie: \(m(\angle ACB)=60^\circ\).
Greșeală frecventă. Unghiul înscris nu este egal cu arcul interceptat; este jumătate din el. Egalitatea directă cu arcul este pentru unghiul la centru.
Unghiul înscris are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde.
Verificare rapidă
Ce unghi înscris subîntinde un arc de \(80^\circ\)?Vezi răspunsul
\(40^\circ\), adică jumătate din măsura arcului.
Ce măsură are un unghi înscris pe diametru?Vezi răspunsul
\(90^\circ\).
Ce poți spune despre două unghiuri înscrise pe același arc?Vezi răspunsul
Sunt congruente dacă subîntind același arc.
Exerciții
1
Un arc are \(100^\circ\). Află unghiul înscris care îl subîntinde.
2
Un unghi înscris are \(35^\circ\). Află arcul interceptat.
3
AB este diametru. C este pe cerc. Află \(m(\angle ACB)\).
4
Unghiul la centru \(AOB\) este \(84^\circ\). Află unghiul înscris \(ACB\) pe același arc.
5
Unghiurile înscrise \(ACB\) și \(ADB\) subîntind același arc \(AB\). Dacă \(m(\angle ACB)=57^\circ\), află \(m(\angle ADB)\).
6
Într-un cerc, arcul mic \(AB\) are \(140^\circ\). Află unghiul înscris care subîntinde arcul mare \(AB\).
7
Un triunghi ABC este înscris într-un cerc și \(AB\) este diametru. Dacă \(\angle CAB=32^\circ\), află \(\angle ABC\).
8
Un unghi înscris este de \(72^\circ\). Ce măsură are unghiul la centru care subîntinde același arc?
9
Într-un cerc, \(\angle ACB=3x+5^\circ\), iar unghiul la centru \(\angle AOB=8x-10^\circ\), ambele pe același arc AB. Află \(x\).
10
Un patrulater ABCD este înscris într-un cerc. Dacă \(\angle A=68^\circ\), află \(\angle C\).