G11 - Poliedre

Poliedre

În geometria în spațiu, primul pas este să separi forma unui corp de elementele lui. Un poliedru este alcătuit numai din suprafețe poligonale: acestea devin fețe, laturile lor devin muchii, iar capetele muchiilor sunt vârfuri. Manualul folosește cubul ca model simplu pentru a fixa aceste noțiuni și pentru a trece apoi la arie, volum și distanțe în spațiu.

Cum recunoști un poliedru

Privește suprafața corpului, nu doar conturul desenului. Dacă întreaga suprafață este formată din poligoane, corpul este poliedru. Un cub, o prismă sau o piramidă sunt poliedre; un cilindru nu este, deoarece are o suprafață laterală curbată.

O față este o suprafață poligonală completă. O muchie este segmentul comun a două fețe vecine. Un vârf este punctul în care se întâlnesc muchii. O diagonală a poliedrului unește vârfuri aflate pe fețe diferite, fără să fie o muchie.

Cum citești un desen în spațiu

Desenul unui corp tridimensional este o reprezentare pe o foaie. De aceea, unele muchii care în realitate sunt egale pot apărea cu lungimi diferite în desen. Proprietățile se deduc din date și definiții, nu prin măsurarea schiței.

Muchiile ascunse sunt de obicei trasate întrerupt. Când numești o față, trebuie să urmărești vârfurile ei în ordine. La cub, de exemplu, fiecare față este un pătrat, dar o diagonală a feței nu este aceeași cu diagonala cubului.

Cubul ca model de calcul

Dacă muchia cubului este \(a\), fiecare față are aria \(a^2\), iar cele șase fețe dau aria totală \(6a^2\). Volumul se obține din trei dimensiuni egale: \(a\cdot a\cdot a=a^3\).

Diagonala unei fețe se calculează într-un pătrat, iar diagonala cubului se calculează apoi într-un triunghi dreptunghic din spațiu. Este important să identifici despre ce diagonală este vorba înainte de a aplica teorema lui Pitagora.

Definiție esențială. Un poliedru este un corp geometric mărginit numai de suprafețe poligonale. Aceste suprafețe sunt fețele lui; laturile fețelor sunt muchii, iar extremitățile muchiilor sunt vârfuri.
De reținut.
  • Nu confunda diagonala unei fețe cu diagonala poliedrului.
  • Într-un cub există 6 fețe, 12 muchii și 8 vârfuri.
  • Pentru calcule de capacitate sau volum, transformă toate lungimile în aceeași unitate înainte de a calcula.

Exemplu rezolvat

Un cub are muchia de \(4\) cm. Determină aria totală și volumul.

  1. O față este un pătrat cu aria \(4^2=16\text{ cm}^2\).
  2. Cubul are șase fețe congruente, deci aria totală este \(6\cdot16=96\text{ cm}^2\).
  3. Volumul este produsul celor trei dimensiuni: \(4^3=64\text{ cm}^3\).

Concluzie: \(A_t=96\text{ cm}^2\), \(V=64\text{ cm}^3\).

Greșeală frecventă. Nu calcula volumul în unități pătrate și nici aria în unități cubice. Aria măsoară suprafața, deci are unități de tip cm²; volumul măsoară spațiul ocupat, deci are unități de tip cm³.

Verificare rapidă

  • Un corp cu o față curbată poate fi poliedru?
    Vezi răspunsul

    Nu. Un poliedru este mărginit numai de suprafețe poligonale plane.

  • Câte fețe are un cub?
    Vezi răspunsul

    6 fețe.

  • Dacă muchia cubului se dublează, volumul se multiplică de câte ori?
    Vezi răspunsul

    De 8 ori, deoarece volumul este proporțional cu cubul muchiei.

Exerciții

1
Un corp este mărginit de 5 suprafețe triunghiulare și patrulatere, toate plane. Este poliedru?
2
Câte fețe, muchii și vârfuri are un cub?
3
Un cub are muchia de \(3\) cm. Determină aria totală.
4
Un cub are muchia de \(5\) cm. Determină volumul.
5
Suma lungimilor tuturor muchiilor unui cub este \(72\) cm. Determină muchia cubului.
6
Volumul unui cub este \(216\text{ cm}^3\). Determină aria totală.
7
Un cub are diagonala unei fețe egală cu \(6\sqrt2\) cm. Determină muchia cubului.

\(d_f=a\sqrt2\)

8
Un cub are diagonala spațială \(6\sqrt3\) cm. Determină volumul.

\(d=a\sqrt3\)

9
Un cub cu muchia \(20\) cm este din gheață. Dacă \(1\text{ dm}^3\) de gheață are masa \(0,9\) kg, ce masă are cubul?
10
Aria totală a unui cub este \(294\text{ cm}^2\). Determină lungimea diagonalei spațiale.

\(A_t=6a^2,\quad d=a\sqrt3\)

Înapoi Următor