A15 - Ecuații raționale

Ecuații raționale

În ecuațiile raționale, necunoscuta poate apărea la numitor. Aici domeniul valorilor admisibile nu este o formalitate: el decide ce transformări sunt permise și elimină soluțiile care ar face expresia inițială fără sens.

1. DVA înainte de orice

Identificăm toți numitorii și excludem valorile care îi anulează. DVA-ul se păstrează până la final chiar dacă, după simplificări, un factor dispare.

Această ordine previne apariția soluțiilor false.

2. Reducerea la o ecuație polinomială

Mutăm termenii într-un singur membru, aducem la numitor comun și obținem o fracție \(\displaystyle\frac{A(x)}{B(x)}\). Pe DVA, egalitatea cu zero este echivalentă cu \(A(x)=0\).

Alternativ, putem înmulți ambii membri cu un multiplu comun al numitorilor, dar numai după stabilirea DVA.

3. Verificarea finală

Soluțiile ecuației obținute trebuie intersectate cu DVA-ul. O valoare care anulează un numitor nu poate deveni soluție, chiar dacă satisface ecuația transformată.

Definiție esențială. O ecuație rațională este o ecuație ale cărei membre sunt expresii raționale; când necunoscuta apare la numitor, DVA este obligatoriu.
De reținut.
  • 1. DVA.
  • 2. Aducere la formă convenabilă / eliminarea numitorilor pe DVA.
  • 3. Rezolvarea ecuației rezultate.
  • 4. Verificarea soluțiilor în DVA.

Exemplu explicat pas cu pas

Rezolvă \(\displaystyle\frac1{x-1}=\displaystyle\frac2{x+1}\).

  1. DVA: \(x\ne1\), \(x\ne-1\).
  2. Pe DVA înmulțim cu \((x-1)(x+1)\): \(x+1=2(x-1)\).
  3. Rezolvăm: \(x+1=2x-2\Rightarrow x=3\).
  4. Valoarea \(3\) aparține DVA și verifică egalitatea.

Concluzie: \(S=\{3\}\).

Greșeală frecventă. Nu înmulți direct cu numitorii înainte să scrii valorile excluse. Dacă un factor se simplifică ulterior, restricția inițială poate deveni invizibilă și poate fi uitată.

Verificare rapidă

  • Care este DVA pentru \(\displaystyle\frac1{x(x-2)}\)?
    Vezi răspunsul

    \(DVA=\mathbb R\setminus\{0,2\}\).

  • Când este o fracție egală cu zero?
    Vezi răspunsul

    Când numărătorul este zero și numitorul este diferit de zero.

  • De ce se verifică soluțiile la final?
    Vezi răspunsul

    Transformările pot produce valori care nu aparțin DVA; verificarea elimină soluțiile neadmise.

Exerciții

1
Rezolvă \(\displaystyle\frac1x=2\).
2
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x-3}{x+1}=0\).
3
Rezolvă \(\displaystyle\frac2{x-1}=1\).
4
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x+2}{x-2}=2\).
5
Rezolvă \(\displaystyle\frac1x+\displaystyle\frac1{2x}=3\).
6
Rezolvă \(\displaystyle\frac1{x-1}+\displaystyle\frac1{x+1}=1\).
7
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}=0\).
8
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x}{x-2}=\displaystyle\frac3{x+1}\).
9
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x+1}{x-1}=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\).
10
Rezolvă \(\displaystyle\frac{2}{x-1}-\displaystyle\frac{1}{x+1}=\displaystyle\frac{3}{x^2-1}\).
Înapoi Următor