G07 - Aria paralelogramelor

Aria paralelogramelor

Aria paralelogramului depinde de o bază și de înălțimea corespunzătoare, nu de lungimea laturii oblice. Dreptunghiul, rombul și pătratul sunt cazuri particulare, iar formulele lor pot fi înțelese prin descompunere și transformare.

1. Paralelogramul

Dacă alegem o latură drept bază, înălțimea corespunzătoare este distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele. Prin mutarea unui triunghi de la o margine la cealaltă, paralelogramul se transformă într-un dreptunghi cu aceeași bază și aceeași înălțime, fără schimbarea ariei.

De aici rezultă \(A=a\cdot h_a\). Putem folosi oricare latură ca bază, dar trebuie să folosim înălțimea perpendiculară pe acea bază.

2. Dreptunghi și pătrat

Într-un dreptunghi, o latură este deja perpendiculară pe cealaltă, deci aria este produsul dimensiunilor. Pentru pătrat, laturile fiind egale, aria este pătratul laturii.

3. Rombul

Rombul este paralelogram, deci \(A=a h\). Mai există și formula cu diagonalele: \(A=\displaystyle\frac{d_1d_2}{2}\), deoarece diagonalele sunt perpendiculare și împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice.

În probleme, formula cu diagonalele este utilă când înălțimea nu este dată.

De reținut.
  • Paralelogram: \(A=a h_a\).
  • Dreptunghi: \(A=ab\); pătrat: \(A=a^2\).
  • Romb: \(A=\displaystyle\frac{d_1d_2}{2}\) sau \(A=ah\).

Exemplu explicat pas cu pas

Un paralelogram are baza 12 cm și înălțimea pe această bază 7 cm. Află aria.

  1. Identificăm baza \(a=12\) cm și înălțimea corespunzătoare \(h_a=7\) cm.
  2. Aplicăm \(A=a h_a\).
  3. Calculăm \(A=12\cdot7=84\,cm^2\).

Concluzie: Aria este \(84\,cm^2\).

Greșeală frecventă. Latura laterală a unui paralelogram oblic nu este înălțime. Înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe baza aleasă.

Verificare rapidă

  • Ce înălțime folosești pentru baza \(a\)?
    Vezi răspunsul

    Înălțimea perpendiculară pe baza \(a\), notată de obicei \(h_a\).

  • Care este aria unui romb din diagonale?
    Vezi răspunsul

    \(A=\displaystyle\frac{d_1d_2}{2}\).

  • De ce formula dreptunghiului este un caz al formulei paralelogramului?
    Vezi răspunsul

    Dreptunghiul este un paralelogram în care înălțimea corespunzătoare bazei coincide cu cealaltă latură.

Exerciții

1
Un paralelogram are baza 9 cm și înălțimea 4 cm. Află aria.

\(A=a h\)

2
Un dreptunghi are laturile 7 cm și 11 cm. Află aria.
3
Un pătrat are latura 8 cm. Află aria.
4
Un paralelogram are aria 60 cm² și baza 12 cm. Află înălțimea corespunzătoare.
5
Un romb are diagonalele 10 cm și 16 cm. Află aria.

\(A=\displaystyle\frac{d_1d_2}{2}\)

6
Un romb are aria 48 cm² și una dintre diagonale 8 cm. Află cealaltă diagonală.
7
Un paralelogram are două baze posibile de 10 cm și 15 cm. Înălțimea pe baza de 10 cm este 9 cm. Află înălțimea pe baza de 15 cm.
8
Un romb are latura 13 cm și o diagonală 10 cm. Află cealaltă diagonală.
9
Un paralelogram are baza 14 cm și latura laterală 10 cm. Unghiul dintre ele este drept. Află aria.
10
Două paralelograme au aceeași bază de 8 cm și ariile 48 cm², respectiv 72 cm². Compară înălțimile.
Înapoi Următor