A19 - Inecuații de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor

Inecuații de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor

Inecuațiile de gradul II cer să stabilim unde un polinom este pozitiv sau negativ. Rădăcinile împart axa în intervale pe care semnul rămâne constant; aceasta este ideea comună dintre studiul parabolei și metoda intervalelor.

1. Legătura cu funcția de gradul II

Pentru \(ax^2+bx+c>0\), examinăm funcția \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zerourile sunt punctele în care graficul trece prin axa \(Ox\), iar semnul se citește după poziția parabolei față de axă.

Dacă există două rădăcini \(x_10\) semnul este pozitiv în exteriorul intervalului dintre rădăcini și negativ în interior; pentru \(a<0\) este invers.

2. Metoda intervalelor

Pentru un produs factorizat, marcăm pe axă toate zerourile factorilor, ordonate. Aceste puncte separă axa în intervale. Pe fiecare interval alegem un punct de test sau urmărim schimbarea semnului factorilor.

Dacă inecuația este strictă, rădăcinile nu se includ; pentru \(\le\) sau \(\ge\), rădăcinile numărătorului se includ.

3. Inecuații raționale

La o fracție algebrică marcăm atât zerourile numărătorului, cât și valorile interzise din numitor. Valorile care anulează numitorul nu se includ niciodată.

Metoda funcționează tocmai pentru că semnul expresiei nu se poate schimba într-un interval în care niciun factor nu trece prin zero și nicio restricție nu este traversată.

De reținut.
  • Factorizează sau găsește zerourile înainte de tabelul de semne.
  • Ordonează toate punctele critice pe axă.
  • Include un zero numai pentru semnele \(\le,\ge\); nu include niciodată o valoare care anulează numitorul.

Exemplu explicat pas cu pas

Rezolvă \((x-5)(x+3)<0\).

  1. Zerourile sunt \(-3\) și \(5\).
  2. Pe \((-\infty,-3)\), ambii factori sunt negativi, produsul este pozitiv.
  3. Pe \((-3,5)\), factorii au semne opuse, produsul este negativ.
  4. Pe \((5,+\infty)\), ambii sunt pozitivi. Cerem semn negativ și inecuația este strictă.

Concluzie: \(S=(-3,5)\).

Greșeală frecventă. La o inecuație rațională, punctele care anulează numitorul se marchează ca excluse chiar dacă semnul cerut este \(\le\) sau \(\ge\). Expresia nu există acolo.

Verificare rapidă

  • Unde este pozitiv un produs cu două rădăcini simple dacă coeficientul principal este pozitiv?
    Vezi răspunsul

    În exteriorul intervalului dintre cele două rădăcini: \(( -\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)\), pentru \(x_1

  • Se include o rădăcină la semnul \(>\)?
    Vezi răspunsul

    Nu. La semnul strict \(>\), punctele unde expresia este zero nu se includ.

  • Se poate include vreodată un zero al numitorului?
    Vezi răspunsul

    Nu. O valoare care anulează numitorul este întotdeauna exclusă din domeniu.

Exerciții

1
Rezolvă \(x^2-9<0\).
2
Rezolvă \(x^2-9\ge0\).
3
Rezolvă \((x-2)(x+1)>0\).
4
Rezolvă \((x-4)(x+2)\le0\).
5
Rezolvă \(x^2-x-6>0\).
6
Rezolvă \(-x^2+5x-6\ge0\).
7
Rezolvă \(x(x-2)(x+3)>0\).
8
Rezolvă \(\displaystyle\frac{x-5}{x+1}\ge0\).
9
Rezolvă \(\displaystyle\frac{(x-2)(x+4)}{x-1}<0\).
10
Rezolvă \((x-1)^2(x+2)\le0\).
Înapoi Următor