A12 - Operații cu fracții algebrice. Recapitulare și completări

Operații cu fracții algebrice. Recapitulare și completări

Fracțiile algebrice se comportă asemănător fracțiilor numerice, dar au o dificultate suplimentară: numitorul depinde de necunoscută. De aceea domeniul valorilor admisibile trebuie stabilit înainte de simplificări și trebuie păstrat ca parte a problemei.

1. Fracția algebrică și DVA

Raportul \(P(X)/Q(X)\), cu \(Q\ne0\), este o fracție algebrică. Domeniul valorilor admisibile într-o mulțime dată se obține excluzând rădăcinile numitorului.

Excluderile provin din expresia inițială. Dacă simplificăm un factor comun, valoarea care anula acel factor rămâne interzisă pentru expresia originală.

2. Simplificare și amplificare

Simplificarea înseamnă împărțirea numărătorului și numitorului la același polinom nenul pe domeniul considerat. Factorizarea trebuie făcută înainte: nu se „taie” termeni din sume.

Amplificarea înmulțește numărătorul și numitorul cu același polinom și este utilă pentru aducerea la numitor comun.

3. Operații

La adunare și scădere se folosește un numitor comun. La înmulțire se înmulțesc numărătorii și numitorii, de preferat după factorizări și simplificări. La împărțire, a doua fracție se inversează, dar trebuie să fie și nenulă.

Rezultatul final se simplifică, însă DVA-ul expresiei inițiale nu se uită.

Definiție esențială. DVA al fracției \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) este mulțimea valorilor pentru care \(Q(x)\ne0\).
De reținut.
  • Factorizează înainte de simplificare.
  • Nu simplifica termeni legați prin \(+\) sau \(-\); se simplifică factori ai unui produs.
  • La împărțire, pe lângă numitorii inițiali nenuli, fracția împărțitoare trebuie să fie nenulă.

Exemplu explicat pas cu pas

Simplifică \(\displaystyle\frac{x^2-9}{x^2-3x}\) și precizează DVA.

  1. Numitorul este \(x(x-3)\), deci DVA: \(x\ne0\) și \(x\ne3\).
  2. Factorizăm numărătorul: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
  3. Pe DVA putem simplifica factorul \(x-3\), obținând \(\displaystyle\frac{x+3}{x}\).
  4. Restricția \(x\ne3\) rămâne, deoarece provine din expresia inițială.

Concluzie: \(\displaystyle\frac{x+3}{x}\), cu \(x\in\mathbb R\setminus\{0,3\}\).

Greșeală frecventă. Simplificarea nu șterge restricțiile inițiale. Expresiile \(\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}\) și \(x+1\) au aceleași valori pentru \(x\ne1\), dar prima nu este definită la \(x=1\).

Verificare rapidă

  • Ce valori excluzi pentru \(\displaystyle\frac1{x^2-4}\)?
    Vezi răspunsul

    Excluzi \(x=-2\) și \(x=2\), deoarece \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

  • Poți simplifica \(x\) din \(\displaystyle\frac{x+2}{x}\)?
    Vezi răspunsul

    Nu. Se simplifică doar factori comuni ai întregului numărător și numitor, nu termeni dintr-o sumă.

  • Ce faci cu a doua fracție la împărțire?
    Vezi răspunsul

    O înmulțești cu inversa ei: împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu reciproca.

Exerciții

1
Determină DVA pentru \(\displaystyle\frac{3}{x-5}\).
2
Determină DVA pentru \(\displaystyle\frac{x+1}{x^2-9}\).
3
Simplifică \(\displaystyle\frac{6x^2}{3x}\), păstrând restricția inițială.
4
Simplifică \(\displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}\) și precizează DVA.
5
Calculează \(\displaystyle\frac2x+\displaystyle\frac3x\).
6
Calculează \(\displaystyle\frac1{x}+\displaystyle\frac1{x+1}\).
7
Simplifică produsul \(\displaystyle\frac{x^2-1}{x}\cdot\displaystyle\frac{x}{x+1}\).
8
Calculează \(\displaystyle\frac{x}{x-2}:\displaystyle\frac{x+1}{x-2}\).
9
Simplifică \(\displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\).
10
Determină \(x\) din DVA pentru care \(\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}=6\).
Înapoi Următor