G02 - Poligoane

Poligoane

Capitolul despre poligoane reunește multe rezultate din anii anteriori: elementele și clasificarea triunghiurilor, congruența și asemănarea, teorema lui Thales, relațiile din triunghiul dreptunghic, patrulaterele și poligoanele regulate. Scopul este să alegi proprietatea potrivită după configurație.

1. Triunghiuri: elemente și clasificare

Într-un triunghi distingem laturi, unghiuri, mediane, bisectoare și înălțimi. Clasificarea după laturi și după unghiuri oferă imediat proprietăți suplimentare: într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente; într-un triunghi dreptunghic teorema lui Pitagora leagă cele trei laturi.

Suma unghiurilor interioare ale oricărui triunghi este \(180^\circ\), iar un unghi exterior este egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente.

2. Congruență, asemănare și Thales

Congruența înseamnă aceeași formă și aceeași mărime; asemănarea păstrează forma, iar lungimile corespunzătoare sunt proporționale. Criteriile permit demonstrarea fără a verifica toate elementele.

Teorema lui Thales apare când o dreaptă paralelă cu o latură a triunghiului taie celelalte două laturi și produce segmente proporționale.

3. Triunghiul dreptunghic și patrulatere

Pe lângă Pitagora, manualul recapitulează teorema catetei și teorema înălțimii. În patrulatere, paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul și trapezul se diferențiază prin paralelism, unghiuri și proprietăți ale diagonalelor.

Un poligon convex cu toate laturile congruente și toate unghiurile congruente este regulat. Numărul diagonalelor și suma unghiurilor depind de numărul \(n\) de laturi.

De reținut.
  • Triunghi: suma unghiurilor \(180^\circ\).
  • Pitagora: în triunghi dreptunghic \(c^2=a^2+b^2\).
  • Poligon convex cu \(n\) laturi: suma unghiurilor \((n-2)\cdot180^\circ\), număr diagonale \(\displaystyle\frac{n(n-3)}2\).

Exemplu explicat pas cu pas

Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt 6 cm și 8 cm. Află ipotenuza.

  1. Identificăm catetele \(a=6\), \(b=8\).
  2. Aplicăm Pitagora: \(c^2=6^2+8^2=36+64=100\).
  3. Cum lungimea este pozitivă, \(c=\sqrt{100}=10\) cm.

Concluzie: Ipotenuza are \(10\) cm.

Greșeală frecventă. Nu aplica teorema lui Pitagora într-un triunghi oarecare. Mai întâi trebuie să existe un unghi drept și să identifici corect ipotenuza — latura opusă unghiului drept.

Verificare rapidă

  • Ce criteriu de congruență folosește trei laturi?
    Vezi răspunsul

    Criteriul LLL: cele trei laturi corespunzătoare sunt congruente.

  • Ce relație există între segmente în teorema lui Thales?
    Vezi răspunsul

    O dreaptă paralelă cu o latură a triunghiului determină segmente proporționale pe celelalte două laturi.

  • Câte diagonale are un pentagon?
    Vezi răspunsul

    5 diagonale.

Exerciții

1
Un triunghi are laturile 5, 5, 8. Cum se clasifică după laturi?
2
Două unghiuri ale unui triunghi sunt \(50^\circ\) și \(70^\circ\). Află al treilea unghi.
3
Pot 3, 4 și 8 să fie laturile unui triunghi?
4
Într-un triunghi dreptunghic catetele sunt 5 și 12. Află ipotenuza.

\(c^2=a^2+b^2\)

5
Un triunghi isoscel are unghiul la vârf de \(40^\circ\). Află unghiurile de la bază.
6
Două triunghiuri au laturile \(3,4,5\), respectiv \(6,8,10\). Sunt asemenea?
7
Într-un triunghi, o linie mijlocie este paralelă cu o latură de 14 cm. Cât măsoară linia mijlocie?
8
Într-un paralelogram un unghi este \(55^\circ\). Află celelalte trei unghiuri.
9
Câte diagonale are un decagon convex?

\(D=\displaystyle\frac{n(n-3)}2\)

10
Un poligon convex are suma unghiurilor interioare \(1260^\circ\). Câte laturi are?

\(\displaystyle S_n=(n-2)\cdot180^\circ\)

Înapoi Următor