G10 - Aria poligonului regulat. Lungimea cercului și aria discului

Aria poligonului regulat. Lungimea cercului și aria discului

Un poligon regulat poate fi împărțit în triunghiuri isoscele congruente cu vârful în centrul lui. Această descompunere conduce la formula cu perimetrul și apotema. Pentru cerc și disc, formulele folosesc raza și constanta \(\pi\).

1. Poligonul regulat și apotema

Într-un poligon regulat, centrul este egal depărtat de laturi și de vârfuri. Distanța de la centru la o latură este apotema \(r\).

Dacă poligonul are perimetrul \(P\), suma ariilor triunghiurilor formate de centru și laturi este \(A=\displaystyle\frac{Pr}{2}\).

2. Lungimea cercului

Raportul dintre lungimea cercului și diametru este constanta \(\pi\). De aceea, pentru raza \(R\), lungimea cercului este \(L=2\pi R\).

Un arc reprezintă o fracțiune din cercul complet; lungimea lui este proporțională cu măsura unghiului la centru.

3. Aria discului

Aria discului de rază \(R\) este \(A=\pi R^2\). Puterea a doua este firească: dacă raza se dublează, aria se multiplică de patru ori.

Nu confunda cercul, care este conturul și are lungime, cu discul, care este suprafața și are arie.

De reținut.
  • Poligon regulat: \(A=\displaystyle\frac{P\cdot r}{2}\), unde \(r\) este apotema.
  • Cerc: \(L=2\pi R\).
  • Disc: \(A=\pi R^2\).

Exemplu explicat pas cu pas

Un hexagon regulat are perimetrul 36 cm și apotema \(3\sqrt3\) cm. Află aria.

  1. Folosim formula \(A=\displaystyle\frac{Pr}{2}\).
  2. Înlocuim \(P=36\), \(r=3\sqrt3\).
  3. \(A=\displaystyle\frac{36\cdot3\sqrt3}{2}=54\sqrt3\,cm^2\).

Concluzie: Aria este \(54\sqrt3\,cm^2\).

Greșeală frecventă. Pentru cerc, \(2\pi R\) este lungime, iar \(\pi R^2\) este arie. Verifică unitățile: primul rezultat are unități liniare, al doilea unități pătrate.
Hexagon regulat și apotemăApotema este perpendiculara din centru pe o latură. Oapotemă
Poligonul regulat se poate împărți în triunghiuri congruente cu vârful în centru.

Verificare rapidă

  • Ce este apotema unui poligon regulat?
    Vezi răspunsul

    Distanța de la centrul poligonului regulat la una dintre laturi; este raza cercului înscris.

  • Cum se schimbă aria discului dacă raza se dublează?
    Vezi răspunsul

    Se multiplică de 4 ori, deoarece aria este proporțională cu \(R^2\).

  • Care este lungimea cercului de rază \(R\)?
    Vezi răspunsul

    \(L=2\pi R\).

Exerciții

1
Află lungimea cercului de rază 3 cm.

\(L=2\pi R\)

2
Află aria discului de rază 4 cm.

\(A=\pi R^2\)

3
Un cerc are diametrul 10 cm. Află lungimea lui.
4
Un disc are aria \(25\pi\) cm². Află raza.
5
Un pătrat regulat are perimetrul 24 cm și apotema 3 cm. Află aria cu formula poligonului regulat.
6
Un hexagon regulat are latura 4 cm și apotema \(2\sqrt3\) cm. Află aria.

\(A=\displaystyle\frac{Pr}{2}\)

7
Un arc corespunde unui unghi la centru de \(90^\circ\) într-un cerc de rază 8 cm. Află lungimea arcului.
8
Raza unui disc se dublează. De câte ori crește aria?
9
Un inel circular are raza exterioară 5 cm și raza interioară 3 cm. Află aria inelului.
10
Un cerc are lungimea \(12\pi\) cm. Află aria discului corespunzător.
Înapoi Următor