Prisma este un poliedru construit din două baze congruente aflate în plane paralele. Între vârfurile omoloage ale bazelor apar muchiile laterale, iar fețele laterale sunt paralelograme. În clasa a IX-a, calculele se concentrează mai ales pe prisme drepte, unde muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze și coincid ca lungime cu înălțimea.
Elemente și clasificare
Cele două baze au aceeași formă și aceeași mărime. O prismă este numită triunghiulară, patrulateră, pentagonală etc. după poligonul bazei. În orice prismă, laturile omoloage ale bazelor sunt paralele și congruente, iar muchiile laterale sunt paralele și congruente.
Într-o prismă dreaptă, fețele laterale sunt dreptunghiuri. Dacă baza unei prisme drepte este un poligon regulat, prisma este regulată. Înălțimea este distanța dintre planele bazelor; la prisma dreaptă ea este egală cu lungimea unei muchii laterale.
Aria laterală și aria totală
Desfășurarea unei prisme drepte arată de ce aria laterală este produsul dintre perimetrul bazei și înălțime: fiecare latură a bazei produce un dreptunghi lateral cu aceeași înălțime.
După calculul suprafeței laterale, la aria totală se adaugă cele două baze. De aceea trebuie să distingem clar \(A_l\), \(A_b\) și \(A_t\).
Volumul și diagonala
Volumul oricărei prisme este aria bazei înmulțită cu înălțimea: interpretarea este că aceeași bază este repetată pe toată înălțimea corpului.
Pentru un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile \(a,b,c\), diagonala spațială se obține prin două aplicări ale teoremei lui Pitagora și satisface \(d^2=a^2+b^2+c^2\).
Definiție esențială. O prismă are două baze congruente și paralele; celelalte fețe sunt fețe laterale. În prisma dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor.
De reținut.
Pentru prisma dreaptă: \(A_l=P_bh\), iar \(A_t=A_l+2A_b\).
Pentru orice prismă: \(V=A_bh\).
Pentru paralelipipedul dreptunghic: \(d^2=a^2+b^2+c^2\).
Exemplu rezolvat
O prismă dreaptă are baza dreptunghi cu laturile \(5\) cm și \(3\) cm, iar înălțimea \(8\) cm. Determină aria laterală, aria totală și volumul.
Perimetrul bazei este \(P_b=2(5+3)=16\) cm, iar aria bazei este \(A_b=5\cdot3=15\text{ cm}^2\).
Greșeală frecventă. Nu folosi perimetrul bazei în formula volumului. Volumul folosește aria bazei, în timp ce aria laterală a prismei drepte folosește perimetrul bazei.
La prisma dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor.
Verificare rapidă
Ce tip de patrulatere sunt fețele laterale ale unei prisme drepte?Vezi răspunsul
Dreptunghiuri.
Ce adaugi la aria laterală pentru a obține aria totală?Vezi răspunsul
Ariile celor două baze: \(A_t=A_l+2A_b\).
O prismă cu bază hexagon regulat și muchii laterale perpendiculare pe bază este o prismă hexagonală regulată?Vezi răspunsul
Da. Este o prismă hexagonală regulată.
Exerciții
1
O prismă are baze triunghiuri. Cum se numește după forma bazei?
2
O prismă dreaptă are perimetrul bazei \(18\) cm și înălțimea \(7\) cm. Determină aria laterală.
3
O prismă are aria bazei \(24\text{ cm}^2\) și înălțimea \(10\) cm. Determină volumul.
4
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile \(4\) cm, \(3\) cm și \(5\) cm. Determină volumul.
5
O prismă patrulateră regulată are latura bazei \(4\) cm și înălțimea \(7\) cm. Determină aria laterală.
6
O prismă dreaptă are \(A_l=180\text{ cm}^2\), \(P_b=30\) cm și \(A_b=36\text{ cm}^2\). Determină înălțimea și aria totală.
7
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile \(6\), \(8\), \(10\) cm. Determină diagonala spațială.
\(d^2=a^2+b^2+c^2\)
8
O prismă dreaptă are baza paralelogram cu latura \(6\) cm și înălțimea corespunzătoare \(4\) cm. Înălțimea prismei este \(14\) cm. Determină volumul.
9
O prismă patrulateră regulată are aria bazei \(25\text{ cm}^2\) și aria laterală \(160\text{ cm}^2\). Determină volumul.
10
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile proporționale cu \(2:3:5\) și volumul \(240\text{ cm}^3\). Determină diagonala.