A16 - Sisteme de ecuații

Sisteme de ecuații

Un sistem cere valori care satisfac simultan toate ecuațiile. Soluția unui sistem cu două necunoscute este o pereche ordonată \((x,y)\), iar metodele de rezolvare urmăresc eliminarea controlată a uneia dintre necunoscute.

1. Ce înseamnă soluție

Perechea \((a,b)\) este soluție dacă, înlocuind \(x=a\) și \(y=b\), toate ecuațiile sistemului devin adevărate. Mulțimea soluțiilor sistemului este intersecția condițiilor impuse de ecuațiile lui.

În cazul expresiilor cu restricții, DVA-ul sistemului este intersecția DVA-urilor ecuațiilor.

2. Substituția

Exprimăm o necunoscută dintr-o ecuație și substituim expresia în cealaltă. Metoda este eficientă când una dintre necunoscute are coeficient \(1\) sau \(-1\), ori se izolează ușor.

3. Reducerea

Înmulțim, dacă este necesar, ecuațiile cu numere nenule astfel încât coeficienții unei necunoscute să devină opuși; apoi adunăm ecuațiile și eliminăm acea necunoscută.

Metoda grafică interpretează soluțiile ca puncte de intersecție ale graficelor. Două drepte distincte paralele dau un sistem incompatibil; aceeași dreaptă descrisă de ambele ecuații dă infinit de multe soluții.

Definiție esențială. Soluția unui sistem de două ecuații cu două necunoscute este o pereche ordonată care satisface simultan ambele ecuații.
De reținut.
  • Alege metoda după forma sistemului, nu după obișnuință.
  • După aflarea unei necunoscute, revino într-o ecuație simplă pentru cealaltă.
  • Verificarea în ambele ecuații confirmă perechea și detectează erorile de calcul.

Exemplu explicat pas cu pas

Rezolvă \(\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}\).

  1. Adunăm ecuațiile; termenii \(y\) se reduc: \(2x=8\).
  2. Rezultă \(x=4\).
  3. În prima ecuație, \(4+y=7\), deci \(y=3\).
  4. Verificare: \(4+3=7\), \(4-3=1\).

Concluzie: Soluția este \((4,3)\).

Greșeală frecventă. O valoare pentru \(x\) singură nu este soluția unui sistem cu două necunoscute. Răspunsul trebuie să fie perechea ordonată și trebuie să satisfacă toate ecuațiile.

Verificare rapidă

  • Ce metodă e convenabilă dacă \(y=2x-1\) este deja izolat?
    Vezi răspunsul

    Metoda substituției, deoarece una dintre necunoscute este deja exprimată prin cealaltă.

  • Ce reprezintă grafic soluția?
    Vezi răspunsul

    Punctul sau punctele comune ale graficelor ecuațiilor sistemului.

  • Ce înseamnă sistem incompatibil?
    Vezi răspunsul

    Sistemul nu are nicio soluție comună.

Exerciții

1
Verifică dacă \((2,3)\) este soluție pentru \(\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\).
2
Rezolvă \(\begin{cases}x+y=9\\x-y=3\end{cases}\).
3
Rezolvă \(\begin{cases}y=2x+1\\x+y=7\end{cases}\).
4
Rezolvă \(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\).
5
Rezolvă \(\begin{cases}2x+3y=12\\2x-y=4\end{cases}\).
6
Rezolvă \(\begin{cases}3x+2y=8\\5x-2y=8\end{cases}\).
7
Clasifică sistemul \(\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}\).
8
Clasifică sistemul \(\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=5\end{cases}\).
9
Rezolvă \(\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}\).
10
Rezolvă \(\begin{cases}\displaystyle\frac1x+\displaystyle\frac1y=1\\x+y=6\end{cases}\), cu \(x,y\ne0\).
Înapoi Următor