A14 - Ecuații de gradul II cu o necunoscută

Ecuații de gradul II cu o necunoscută

Ecuația de gradul II apare ori de câte ori necunoscuta este ridicată la pătrat și coeficientul ei nu dispare. Nu toate ecuațiile trebuie atacate imediat cu formula generală: cazurile incomplete și factorizările simple pot fi rezolvate mai clar și mai rapid.

1. Forma standard și cazuri incomplete

Forma standard este \(ax^2+bx+c=0\), cu \(a\ne0\). Dacă \(c=0\), scoatem \(x\) factor comun. Dacă \(b=0\), izolăm \(x^2\) și discutăm dacă valoarea obținută este nenegativă.

Aceste cazuri arată de ce metoda trebuie aleasă după structură, nu mecanic.

2. Discriminantul și formula

În cazul general calculăm \(\Delta=b^2-4ac\). Pentru \(\Delta>0\) există două soluții reale distincte; pentru \(\Delta=0\) o soluție reală dublă; pentru \(\Delta<0\) nu există soluții reale.

Când \(\Delta\ge0\), soluțiile se obțin din \(x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

3. Relațiile lui Viète

Dacă \(x_1,x_2\) sunt soluțiile reale ale ecuației, atunci \(x_1+x_2=-\displaystyle\frac ba\) și \(x_1x_2=\displaystyle\frac ca\). Relațiile sunt utile pentru verificare, pentru compunerea unei ecuații din rădăcini și pentru unele calcule fără determinarea explicită a rădăcinilor.

Definiție esențială. Ecuația \(ax^2+bx+c=0\), cu \(a\ne0\), este ecuație de gradul II.
De reținut.
  • \(\Delta=b^2-4ac\).
  • Dacă \(\Delta\ge0\), \(x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).
  • Viète: \(x_1+x_2=-\displaystyle\frac ba\), \(x_1x_2=\displaystyle\frac ca\).

Exemplu explicat pas cu pas

Rezolvă \(2x^2-5x-3=0\).

  1. Identificăm \(a=2,b=-5,c=-3\).
  2. \(\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49\).
  3. \(x_1=\displaystyle\frac{5-7}{4}=-\displaystyle\frac12\), iar \(x_2=\displaystyle\frac{5+7}{4}=3\).
  4. Verificare Viète: suma este \(\displaystyle\frac52=-b/a\), produsul \(-\displaystyle\frac32=c/a\).

Concluzie: \(S=\{-\displaystyle\frac12,3\}\).

Greșeală frecventă. Când înlocuiești coeficienții în discriminant, păstrează semnul lui \(b\) și al lui \(c\). De exemplu, dacă \(c<0\), termenul \(-4ac\) devine pozitiv.

Verificare rapidă

  • Ce tip de soluții reale avem pentru \(\Delta<0\)?
    Vezi răspunsul

    Nu există soluții reale.

  • Cum rezolvi rapid \(x^2-5x=0\)?
    Vezi răspunsul

    Factorizezi: \(x(x-5)=0\), deci \(x=0\) sau \(x=5\).

  • Ce reprezintă produsul rădăcinilor?
    Vezi răspunsul

    Pentru \(ax^2+bx+c=0\), produsul rădăcinilor este \(\displaystyle\frac ca\), când rădăcinile reale există.

Exerciții

1
Rezolvă \(x^2-5x=0\).
2
Rezolvă \(x^2-16=0\).
3
Rezolvă \(x^2+9=0\) în \(\mathbb R\).
4
Calculează discriminantul pentru \(x^2-6x+5=0\).

\(\Delta=b^2-4ac\)

5
Rezolvă \(x^2-6x+5=0\).

\(x_{1,2}=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)

6
Rezolvă \(4x^2-4x+1=0\).
7
Fără a rezolva ecuația \(2x^2-7x+3=0\), află suma și produsul rădăcinilor.

\(x_1+x_2=-\displaystyle\frac ba,\ x_1x_2=\displaystyle\frac ca\)

8
Construiește ecuația monică de gradul II cu rădăcinile \(2\) și \(-5\).
9
Determină \(m\) astfel încât \(x^2-4x+m=0\) să aibă o rădăcină dublă.

\(\displaystyle Rădăcină dublă \(\Longleftrightarrow \Delta=0\).\)

10
Una dintre rădăcinile ecuației \(x^2-7x+10=0\) este \(2\). Află cealaltă folosind Viète.
Înapoi Următor