A09 - Polinoame. Operații cu polinoame

Polinoame. Operații cu polinoame

Un polinom este o sumă de monoame. Forma sa canonică, ordonată după puterile nedeterminatei, ne permite să citim imediat gradul, coeficienții și termenul liber și să efectuăm operații fără a pierde termeni.

1. Forma canonică

Într-o nedeterminată \(X\), un polinom se scrie de forma \(a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\), cu \(a_n\ne0\). Gradul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul, iar \(a_0\) este termenul liber.

Termenii cu aceeași putere se reduc. De exemplu, \(2X^2+3X-X^2+5=X^2+3X+5\).

2. Valoarea numerică

Pentru a calcula \(P(a)\), înlocuim nedeterminata cu numărul \(a\). Parantezele sunt importante când \(a\) este negativ. Valoarea numerică va fi folosită ulterior la rădăcini și la teorema lui Bézout.

3. Operații și factorizare

La adunare și scădere se combină coeficienții termenilor de același grad. La înmulțire se aplică distributivitatea fiecărui termen și apoi se reduc termenii asemenea.

Factorizarea este operația inversă dezvoltării: scoaterea factorului comun, gruparea și identitățile remarcabile pot transforma o sumă într-un produs, ceea ce simplifică multe probleme.

Definiție esențială. Polinomul în \(X\) este o sumă finită de monoame de forma \(a_kX^k\). Gradul polinomului nenul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul.
De reținut.
  • Termenii se ordonează și se reduc după aceeași putere a lui \(X\).
  • \(P(a)\) se obține prin substituirea lui \(X\) cu \(a\).
  • Factorizarea verificabilă: dezvoltă produsul obținut și trebuie să revii la polinomul inițial.

Exemplu explicat pas cu pas

Calculează \((2X^2-X+3)+(X^2+4X-5)\).

  1. Grupăm termenii de grad 2: \(2X^2+X^2=3X^2\).
  2. Grupăm termenii de grad 1: \(-X+4X=3X\).
  3. Termenii liberi: \(3-5=-2\).

Concluzie: Rezultatul este \(3X^2+3X-2\).

Greșeală frecventă. La scăderea polinoamelor, semnul minus afectează fiecare termen din al doilea polinom. Pune-l între paranteze înainte să schimbi semnele.

Verificare rapidă

  • Care este gradul lui \(5X^4-2X+7\)?
    Vezi răspunsul

    Gradul este 4.

  • Ce este termenul liber?
    Vezi răspunsul

    Termenul care nu conține variabila; aici este 7.

  • Cum verifici rapid o factorizare?
    Vezi răspunsul

    Dezvolți produsul factorilor și verifici dacă obții polinomul inițial.

Exerciții

1
Determină gradul polinomului \(P(X)=4X^5-2X^2+7\).
2
Indică termenul liber al lui \(P(X)=3X^3-X+8\).
3
Calculează \(P(2)\) pentru \(P(X)=X^2-3X+4\).
4
Redu la forma canonică \(3X^2+2X-X^2+5X-4\).
5
Calculează \((X^2+3X-1)+(2X^2-X+5)\).
6
Calculează \((3X^2-X+2)-(X^2+4X-5)\).
7
Dezvoltă \((X+2)(X-3)\).
8
Factorizează \(6X^3-9X^2\).
9
Factorizează \(X^2-9\).

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

10
Determină \(a\) astfel încât polinomul \(P(X)=X^2+aX+3\) să satisfacă \(P(2)=9\).
Înapoi Următor