G06 - Noțiunea de arie

Noțiunea de arie

Aria măsoară întinderea unei suprafețe și se exprimă în unități pătrate. Formulele de arie nu sunt reguli izolate: ele trebuie să respecte proprietăți generale precum aditivitatea și invarianta la descompuneri sau rearanjări congruente.

1. Ce măsoară aria

Fiecărei suprafețe poligonale i se asociază un număr nenegativ. Figurile congruente au arii egale, iar dacă o figură este descompusă în părți care nu se suprapun în interior, aria totală este suma ariilor părților.

Unitatea de arie este pătratul cu latura egală cu unitatea de lungime. De aceea conversiile sunt pătratice: \(1\,m^2=10\,000\,cm^2\), nu \(100\,cm^2\).

2. Descompunerea ca metodă

O figură complicată poate fi împărțită în dreptunghiuri, triunghiuri sau alte figuri cu arii cunoscute. Invers, aria unei „rame” sau a unei regiuni decupate se obține prin diferența dintre aria exterioară și aria părții eliminate.

Este important să verifici că toate lungimile sunt exprimate în aceeași unitate înainte de a calcula.

3. Arie și perimetru

Perimetrul măsoară lungimea conturului și se exprimă în unități de lungime; aria măsoară suprafața și se exprimă în unități pătrate. Două figuri pot avea același perimetru și arii diferite.

Definiție esențială. Aria unei suprafețe este un număr nenegativ care măsoară întinderea ei; pentru suprafețe fără suprapunere interioară, aria reuniunii este suma ariilor.
De reținut.
  • Folosește aceeași unitate pentru toate lungimile.
  • Unitățile de arie se convertesc la pătrat.
  • La o figură compusă: descompune, adună sau scade ariile după configurație.

Exemplu explicat pas cu pas

Un dreptunghi de 10 cm pe 7 cm are decupat un pătrat de latură 3 cm. Află aria rămasă.

  1. Aria dreptunghiului este \(10\cdot7=70\,cm^2\).
  2. Aria pătratului decupat este \(3^2=9\,cm^2\).
  3. Regiunea rămasă este diferența: \(70-9=61\,cm^2\).

Concluzie: Aria rămasă este \(61\,cm^2\).

Greșeală frecventă. Nu aduna lungimi cu arii și nu scrie unități liniare pentru o arie. De exemplu, un rezultat de arie se exprimă în \(cm^2\), nu în cm.

Verificare rapidă

  • Cât este \(1\,m^2\) în \(cm^2\)?
    Vezi răspunsul

    \(1\,m^2=10\,000\,cm^2\).

  • Ce operație folosești pentru o regiune decupată?
    Vezi răspunsul

    Scăderea: aria regiunii mari minus aria porțiunii decupate.

  • Pot două dreptunghiuri cu același perimetru să aibă arii diferite?
    Vezi răspunsul

    Da. Același perimetru nu determină în mod unic aria.

Exerciții

1
Află aria unui pătrat cu latura 6 cm.
2
Află aria unui dreptunghi de 8 cm pe 5 cm.
3
Transformă \(2\,m^2\) în \(cm^2\).
4
Un dreptunghi de 12 cm pe 9 cm este împărțit în două părți fără suprapunere, una de 40 cm². Află aria celeilalte.
5
Un pătrat de latură 10 cm are decupat un pătrat de latură 4 cm. Află aria rămasă.
6
O cameră dreptunghiulară are 4 m pe 3,5 m. Află aria în m².
7
Un dreptunghi are aria 54 cm² și lățimea 6 cm. Află lungimea.
8
Două dreptunghiuri au dimensiunile 2×12 și 4×6. Compară ariile.
9
Un teren dreptunghiular de 30 m pe 20 m conține o alee dreptunghiulară de 30 m pe 2 m. Află aria rămasă.
10
Un dreptunghi are perimetrul 20 cm. Compară ariile pentru dimensiunile 1×9, 2×8, 3×7, 4×6, 5×5.
Înapoi Următor