Trunchiul de piramidă
Dacă o piramidă este tăiată de un plan paralel cu baza și se îndepărtează piramida mică de la vârf, corpul rămas este un trunchi de piramidă. Cele două baze sunt poligoane asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze. În cazul regulat, trapezele laterale sunt congruente și au aceeași înălțime, numită apotema trunchiului.
Cum apare trunchiul de piramidă
Baza mare este baza piramidei inițiale, iar baza mică este secțiunea produsă de planul paralel. Pentru că planul de secțiune este paralel cu baza, poligoanele bazelor sunt asemenea.
Într-un trunchi regulat, centrele bazelor sunt pe aceeași perpendiculară, iar segmentul dintre ele este înălțimea trunchiului. Apotema este înălțimea unuia dintre trapezele laterale.
Aria laterală
Aria laterală se calculează adunând ariile trapezelor laterale. La un trunchi regulat, toate aceste trapeze sunt congruente, ceea ce permite calculul rapid din perimetrele celor două baze și apotemă.
Pentru un trunchi patrulater regulat cu laturile bazelor \(a\) și \(b\), fiecare față laterală este un trapez cu bazele \(a,b\) și înălțimea \(l\); aria laterală este de patru ori aria acelui trapez.
Volumul prin piramide asemenea
Manualul deduce volumul pornind de la două piramide asemenea: volumul trunchiului este diferența dintre volumul piramidei mari și cel al piramidei mici.
Rezultatul este \(V=\displaystyle\frac h3(A_B+\sqrt{A_BA_b}+A_b)\), unde \(A_B\) este aria bazei mari, \(A_b\) aria bazei mici și \(h\) înălțimea trunchiului. Formula este utilă mai ales când ariile bazelor sunt deja cunoscute.
Definiție esențială. Un trunchi de piramidă se obține prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu baza și îndepărtarea piramidei mici de la vârf. Bazele trunchiului sunt poligoane asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze.
De reținut.- La trunchiul regulat, fețele laterale sunt trapeze congruente.
- Înălțimea este distanța dintre planele bazelor; apotema este înălțimea unei fețe laterale.
- Volumul poate fi calculat direct prin \(V=\displaystyle\frac h3(A_B+\sqrt{A_BA_b}+A_b)\) sau ca diferență de volume între două piramide asemenea.
Exemplu rezolvat
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor \(10\) cm și \(4\) cm, apotema \(5\) cm. Determină aria laterală.
- O față laterală este un trapez cu bazele 10 cm și 4 cm și înălțimea 5 cm.
- Aria unei fețe este \(\displaystyle\frac{10+4}{2}\cdot5=35\text{ cm}^2\).
- Sunt patru fețe laterale congruente, deci \(A_l=4\cdot35=140\text{ cm}^2\).
Concluzie: \(A_l=140\text{ cm}^2\).
Greșeală frecventă. Nu confunda apotema trunchiului cu înălțimea lui. Prima se află în trapezul lateral, a doua este perpendiculară pe planele bazelor.
Verificare rapidă
- Ce relație există între bazele unui trunchi de piramidă?
Vezi răspunsul
Sunt paralele și asemenea.
- Ce formă au fețele laterale?
Vezi răspunsul
- Cum poate fi interpretat volumul trunchiului față de două piramide?
Vezi răspunsul
Da. Este diferența dintre volumul piramidei mari și volumul piramidei mici înlăturate.
Exerciții
1
Ce tip de patrulatere sunt fețele laterale ale unui trunchi de piramidă?
2
Un trunchi patrulater regulat are laturile bazelor \(8\) cm și \(4\) cm și apotema \(3\) cm. Determină aria unei fețe laterale.
3
Pentru trunchiul din exercițiul anterior, determină aria laterală totală.
4
Un trunchi de piramidă are ariile bazelor \(100\text{ cm}^2\) și \(36\text{ cm}^2\), iar înălțimea \(6\) cm. Calculează \(\sqrt{A_BA_b}\).
5
Un trunchi de piramidă are \(A_B=100\text{ cm}^2\), \(A_b=36\text{ cm}^2\), \(h=6\) cm. Determină volumul.
6
Un trunchi patrulater regulat are laturile bazelor \(12\) cm și \(6\) cm și apotema \(5\) cm. Determină aria laterală.
7
Un trunchi patrulater regulat are laturile bazelor \(10\) cm și \(4\) cm și apotema \(5\) cm. Determină aria totală.
8
Un trunchi patrulater regulat are laturile bazelor \(10\) cm și \(4\) cm, iar apotema \(5\) cm. Determină înălțimea trunchiului.
9
Un trunchi patrulater regulat are laturile bazelor \(10\) cm și \(4\) cm și înălțimea \(4\) cm. Determină volumul.
10
O piramidă este tăiată la jumătatea înălțimii printr-un plan paralel cu baza. Ce fracție din volumul piramidei inițiale rămâne în trunchi?