A10 - Împărțirea polinoamelor

Împărțirea polinoamelor

Împărțirea polinoamelor generalizează împărțirea numerelor: căutăm un cât și un rest. Ideea esențială este să eliminăm succesiv termenul de grad maxim al deîmpărțitului, iar la final restul trebuie să aibă grad mai mic decât împărțitorul.

1. Teorema împărțirii cu rest

Pentru polinoame \(P\) și \(Q\ne0\), există în mod unic polinoame \(C\) și \(R\) astfel încât \(P=QC+R\), unde \(R=0\) sau \(\deg R<\deg Q\).

Această relație este și metoda de verificare a unui calcul: după ce ai găsit câtul și restul, reconstruiești \(P\).

2. Algoritmul împărțirii

Polinoamele se ordonează descrescător după grad. Împarți termenul de grad maxim al deîmpărțitului la termenul de grad maxim al împărțitorului; obții următorul termen al câtului. Înmulțești și scazi, apoi repeți.

Dacă lipsesc puteri intermediare, este util să le păstrezi mental sau în scris cu coeficient zero.

3. Împărțirea la \(X-\alpha\)

În cazul special al împărțitorului \(X-\alpha\), restul este o constantă și teorema lui Bézout spune că această constantă este \(P(\alpha)\). Astfel poți afla restul fără împărțire efectivă.

Dacă \(P(\alpha)=0\), restul este zero, deci \(P\) se împarte exact la \(X-\alpha\).

Definiție esențială. Împărțirea cu rest este relația \(P(X)=Q(X)C(X)+R(X)\), cu \(R=0\) sau \(\deg R<\deg Q\).
De reținut.
  • La împărțirea la \(X-\alpha\), restul este \(P(\alpha)\).
  • Împărțirea este exactă dacă și numai dacă restul este zero.
  • Verificarea se face prin \(Q\cdot C+R=P\).

Exemplu explicat pas cu pas

Împarte \(P(X)=X^2-5X+6\) la \(X-2\).

  1. Termenul \(X^2:X=X\), deci primul termen al câtului este \(X\).
  2. Scădem \(X(X-2)=X^2-2X\) și rămâne \(-3X+6\).
  3. \((-3X):X=-3\). Scădem \(-3(X-2)=-3X+6\) și restul este 0.
  4. Verificare: \((X-2)(X-3)=X^2-5X+6\).

Concluzie: Câtul este \(X-3\), restul \(0\).

Greșeală frecventă. Nu opri împărțirea doar pentru că restul nu mai seamănă cu deîmpărțitul. Te oprești când gradul restului devine mai mic decât gradul împărțitorului.

Verificare rapidă

  • Ce condiție trebuie să satisfacă gradul restului?
    Vezi răspunsul

    Gradul restului trebuie să fie strict mai mic decât gradul împărțitorului.

  • Care este restul lui \(P\) la \(X-3\)?
    Vezi răspunsul

    Restul la împărțirea lui \(P(X)\) la \(X-3\) este \(P(3)\).

  • Cum verifici câtul și restul?
    Vezi răspunsul

    Verifici identitatea \(P(X)=D(X)Q(X)+R(X)\).

Exerciții

1
Verifică egalitatea \(X^2-1=(X-1)(X+1)\). Ce spune despre împărțirea la \(X-1\)?
2
Împarte \(X^2+3X+2\) la \(X+1\).
3
Fără împărțire, află restul lui \(P(X)=X^2+2X+5\) la \(X-1\).

\(\displaystyle Restul la \(X-\alpha\) este \(P(\alpha)\).\)

4
Fără împărțire, află restul lui \(P(X)=2X^3-X+4\) la \(X+2\).

\(\displaystyle Pentru \(X+2\), folosește \(\alpha=-2\).\)

5
Stabilește dacă \(X^3-8\) se împarte exact la \(X-2\).
6
Împarte \(X^2+X+1\) la \(X-1\).
7
Împarte \(2X^3-3X^2+X+1\) la \(X^2+1\).
8
Pentru \(P(X)=X^3+aX+2\), restul împărțirii la \(X-1\) este 6. Află \(a\).
9
Fie \(P(X)=X^3-4X^2+X+6\). Arată că \(X-2\) este divizor și află câtul.
10
Ce rest poate avea împărțirea unui polinom la un polinom de grad 3?

\(\deg R<\deg Q\)

Înapoi Următor