A05 - Funcții numerice. Recapitulare și completări

Funcții numerice. Recapitulare și completări

După ce știm ce este o funcție, următorul pas este să citim comportamentul ei: unde este pozitivă sau negativă, unde are zerouri, unde crește sau descrește și cum arată graficul unor modele de bază. Aceste proprietăți transformă o formulă într-o descriere a unei dependențe.

1. Zerouri și semn

Un zero al funcției este un argument \(x_0\) pentru care \(f(x_0)=0\). Geometric, zerourile sunt abscisele punctelor în care graficul întâlnește axa \(Ox\).

Studiul semnului înseamnă identificarea valorilor lui \(x\) pentru care \(f(x)>0\), \(f(x)<0\) sau \(f(x)=0\).

2. Monotonie

O funcție este crescătoare pe un interval dacă, atunci când argumentul crește, valorile funcției nu scad; în cazul strict crescător ele cresc efectiv. Pentru o funcție descrescătoare relația este inversă.

Monotonia se poate citi din grafic sau demonstra prin proprietăți cunoscute ale formulei. În clasa a IX-a sunt importante exemplele liniare, funcția de proporționalitate inversă și funcțiile cu radical sau modul studiate în manual.

3. Modele elementare

Funcția de gradul I \(f(x)=ax+b\), cu \(a\ne0\), are grafic o dreaptă. Semnul lui \(a\) indică monotonia: pentru \(a>0\) dreapta urcă, iar pentru \(a<0\) coboară.

Funcția \(g(x)=\displaystyle\frac{k}{x}\), \(k\ne0\), are domeniul \(\mathbb R\setminus\{0\}\) și descrie proporționalitatea inversă. Funcția \(h(x)=\sqrt x\) este definită pentru \(x\ge0\) și este crescătoare.

Definiție esențială. Un număr \(x_0\) este zero al funcției \(f\) dacă \(f(x_0)=0\).
De reținut.
  • Pentru \(f(x)=ax+b\), \(a\ne0\), zeroul este \(x_0=-\displaystyle\frac ba\).
  • Semnul coeficientului \(a\) stabilește monotonia funcției liniare.
  • Pentru \(\displaystyle\frac{k}{x}\), valoarea \(x=0\) este exclusă din domeniu.

Exemplu explicat pas cu pas

Studiază zeroul și semnul funcției \(f(x)=2x-6\).

  1. Zeroul se obține din \(2x-6=0\), deci \(x=3\).
  2. Coeficientul lui \(x\) este pozitiv, deci funcția este strict crescătoare.
  3. În stânga zeroului, de exemplu la \(x=0\), \(f(0)=-6<0\); în dreapta, de exemplu la \(x=4\), \(f(4)=2>0\).

Concluzie: Funcția este negativă pe \((-\infty,3)\), zero în \(3\) și pozitivă pe \((3,+\infty)\).

Greșeală frecventă. Nu confunda zeroul funcției cu valoarea \(f(0)\). Zeroul este un argument care face valoarea funcției egală cu zero; \(f(0)\) este valoarea funcției în argumentul zero.

Verificare rapidă

  • Care este zeroul lui \(3x+6\)?
    Vezi răspunsul

    Zeroul este \(x=-2\), deoarece \(3x+6=0\).

  • Este \(x\mapsto-2x+1\) crescătoare sau descrescătoare?
    Vezi răspunsul

    Descrescătoare, deoarece coeficientul lui \(x\) este negativ: \(-2<0\).

  • De ce \(x=0\) nu aparține domeniului lui \(5/x\)?
    Vezi răspunsul

    Pentru că la \(x=0\) numitorul devine zero, iar împărțirea la zero nu este definită.

Exerciții

1
Determină zeroul funcției \(f(x)=3x-12\).
2
Precizează monotonia funcției \(f(x)=5x+1\).
3
Precizează monotonia funcției \(g(x)=-2x+7\).
4
Pentru \(f(x)=2x-4\), stabilește semnul lui \(f(x)\) la \(x=1,2,5\).
5
Determină domeniul lui \(g(x)=\displaystyle\frac{6}{x}\).
6
Calculează \(g(-3)\) pentru \(g(x)=\displaystyle\frac{6}{x}\).
7
Pentru \(h(x)=\sqrt{x}\), compară \(h(4)\) și \(h(9)\).
8
Determină intervalele de semn pentru \(f(x)=-3x+6\).

\(\displaystyle Pentru \(f(x)=ax+b\), zeroul este \(x_0=-\displaystyle\frac ba\).\)

9
Fie \(f(x)=ax+4\), iar zeroul funcției este \(2\). Determină \(a\).
10
O funcție liniară trece prin punctele \(A(0,-2)\) și \(B(3,4)\). Determină formula ei.
Înapoi Următor