A04 - Noțiunea de funcție. Recapitulare și completări

Noțiunea de funcție. Recapitulare și completări

O funcție este o regulă de corespondență: fiecărui element admis la intrare îi asociază exact o valoare la ieșire. Înainte de formule și grafice, aceasta este ideea centrală. Dacă unui \(x\) îi corespund două valori diferite, nu avem o funcție.

1. Domeniu, codomeniu, valoare

O funcție se notează \(f:D\to E\). Mulțimea \(D\) este domeniul de definiție, iar \(E\) este mulțimea în care sunt considerate valorile funcției. Pentru \(x\in D\), numărul \(f(x)\) este valoarea funcției în \(x\).

Domeniul nu trebuie ignorat. Aceeași formulă poate defini funcții diferite dacă domeniul este diferit. De exemplu, \(f(x)=\displaystyle\frac1x\) nu are sens în \(x=0\), deci un domeniu real natural pentru ea este \(\mathbb R\setminus\{0\}\).

2. Moduri de definire

O funcție poate fi dată prin formulă, tabel, diagramă, descriere verbală sau grafic. Important este ca regula să permită identificarea unei singure valori pentru fiecare argument admis.

Când funcția este dată prin formulă, calculul unei valori înseamnă substituirea argumentului în expresie, cu respectarea domeniului.

3. Graficul funcției

Graficul funcției este mulțimea punctelor \((x,f(x))\) pentru \(x\) din domeniu. Pentru a verifica dacă un punct \(A(a,b)\) aparține graficului, nu este nevoie să desenezi: verifici dacă \(a\in D\) și dacă \(f(a)=b\).

Un desen reprezintă graficul unei funcții dacă oricărei abscise din domeniu îi corespunde cel mult un punct al graficului. Aceasta este interpretarea geometrică a unicității valorii.

Definiție esențială. O corespondență \(f:D\to E\) este funcție dacă fiecărui \(x\in D\) îi corespunde un singur element \(f(x)\in E\).
De reținut.
  • Pentru apartenența punctului \((a,b)\) la grafic verificăm \(f(a)=b\).
  • Domeniul se stabilește înainte de calcule atunci când formula conține numitori, radicali sau alte expresii cu restricții.
  • Argumentul este valoarea de intrare; \(f(x)\) este valoarea de ieșire.

Exemplu explicat pas cu pas

Fie \(f(x)=2x-3\). Verifică dacă \(A(4,5)\) aparține graficului.

  1. Abscisa punctului este \(4\), deci calculăm \(f(4)\).
  2. \(f(4)=2\cdot4-3=8-3=5\).
  3. Valoarea obținută coincide cu ordonata punctului.

Concluzie: Da, \(A(4,5)\in G_f\).

Greșeală frecventă. Nu confunda \(f(x)\) cu produsul dintre \(f\) și \(x\). Simbolul \(f(x)\) înseamnă „valoarea funcției \(f\) în argumentul \(x\)”.

Verificare rapidă

  • Dacă \(f(x)=x^2+1\), cât este \(f(-2)\)?
    Vezi răspunsul

    \(f(-2)=(-2)^2+1=5\).

  • Poate o funcție să asocieze aceluiași argument două valori diferite?
    Vezi răspunsul

    Nu. Pentru fiecare argument din domeniu, o funcție asociază o singură valoare.

  • Cum verifici fără desen dacă \((3,10)\) aparține graficului lui \(x^2+1\)?
    Vezi răspunsul

    Înlocuiești \(x=3\): \(3^2+1=10\). Cum obții ordonata 10, punctul aparține graficului.

Exerciții

1
Pentru \(f(x)=3x+2\), calculează \(f(4)\).
2
Pentru \(f(x)=x^2-5\), calculează \(f(-3)\).
3
Fie \(f:\{1,2,3\}\to\mathbb R\), \(f(x)=2x\). Scrie perechile care formează graficul.
4
Verifică dacă \(A(2,7)\) aparține graficului funcției \(f(x)=x^2+3\).
5
Verifică dacă \(B(-1,0)\) aparține graficului lui \(g(x)=2x+1\).
6
Determină domeniul real natural al expresiei \(f(x)=\displaystyle\frac{5}{x-2}\).
7
Determină domeniul real natural al lui \(f(x)=\sqrt{x+4}\).

\(\displaystyle \(\sqrt{u}\) are sens în \(\mathbb R\) când \(u\ge0\).\)

8
Fie \(f(x)=ax+1\). Știind că \(f(3)=10\), află \(a\).
9
Fie \(f(x)=x^2\). Găsește toate argumentele pentru care \(f(x)=16\).
10
O relație asociază lui \(1\) valorile \(3\) și \(5\), iar lui \(2\) valoarea \(7\). Este funcție?
Înapoi Următor