A06 - Funcția de gradul II

Funcția de gradul II

Funcția de gradul II leagă algebra de geometrie: expresia \(ax^2+bx+c\) produce o parabolă, iar coeficienții ne spun cum este orientată, unde se află vârful, ce valori poate lua funcția și unde graficul întâlnește axa absciselor.

1. De la \(x^2\) la parabola generală

Graficul funcției \(y=x^2\) este o parabolă cu vârful în origine și axa de simetrie \(Oy\). Înmulțirea cu un coeficient \(a\) schimbă orientarea și „deschiderea”: pentru \(a>0\) parabola este orientată în sus, iar pentru \(a<0\) în jos.

Termenii \(bx+c\) deplasează poziția vârfului. De aceea este utilă forma canonică, în care expresia este rescrisă ca \(a(x-x_0)^2+y_0\).

2. Vârful și axa de simetrie

Pentru \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(a\ne0\), abscisa vârfului este \(x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}\), iar ordonata este \(y_0=f(x_0)\). Dreapta \(x=x_0\) este axa de simetrie.

Dacă \(a>0\), valoarea din vârf este minimă; dacă \(a<0\), este maximă. Monotonia se schimbă exact la abscisa vârfului.

3. Zerouri și discriminant

Zerourile funcției sunt soluțiile ecuației \(ax^2+bx+c=0\). Discriminantul \(\Delta=b^2-4ac\) arată câte intersecții reale are parabola cu axa \(Ox\): două pentru \(\Delta>0\), una pentru \(\Delta=0\), niciuna pentru \(\Delta<0\).

Semnul funcției se poate citi apoi din poziția parabolei față de axă și din orientarea dată de \(a\).

Definiție esențială. Funcția \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=ax^2+bx+c\), cu \(a\ne0\), se numește funcție de gradul II; graficul ei este o parabolă.
De reținut.
  • Vârful are abscisa \(x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}\) și ordonata \(y_0=f(x_0)\).
  • \(\Delta=b^2-4ac\) controlează numărul zerourilor reale.
  • Dacă \(a>0\), vârful dă minimul; dacă \(a<0\), vârful dă maximul.

Exemplu explicat pas cu pas

Studiază elementele principale pentru \(f(x)=x^2-4x+3\).

  1. Avem \(a=1>0\), deci parabola este orientată în sus.
  2. Abscisa vârfului este \(x_0=-\displaystyle\frac{-4}{2}=2\), iar \(y_0=f(2)=4-8+3=-1\).
  3. Discriminantul este \(16-12=4\), deci există două zerouri: \(x_1=1\), \(x_2=3\).
  4. Funcția descrește până la \(x=2\), apoi crește; valoarea minimă este \(-1\).

Concluzie: Vârful este \(V(2,-1)\), iar zerourile sunt \(1\) și \(3\).

Greșeală frecventă. Nu folosi doar discriminantul pentru a descrie funcția. El spune câte zerouri există, dar orientarea, extremul și monotonia depind și de coeficientul \(a\) și de vârf.

Verificare rapidă

  • În ce sens se deschide parabola \(y=-2x^2+3x+1\)?
    Vezi răspunsul

    În jos, deoarece coeficientul lui \(x^2\) este negativ.

  • Care este axa de simetrie dacă \(x_0=4\)?
    Vezi răspunsul

    Dreapta \(x=4\).

  • Ce înseamnă geometric \(\Delta=0\)?
    Vezi răspunsul

    Parabola este tangentă la axa \(Ox\): ecuația de gradul II are o rădăcină reală dublă.

Exerciții

1
Pentru \(f(x)=2x^2-3x+1\), identifică \(a,b,c\).
2
Precizează orientarea parabolei \(y=-4x^2+x+2\).
3
Determină abscisa vârfului pentru \(f(x)=x^2-6x+5\).

\(x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}\)

4
Determină vârful parabolei \(f(x)=x^2-4x+7\).

\(x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a},\ y_0=f(x_0)\)

5
Calculează discriminantul lui \(2x^2+3x-2\).

\(\Delta=b^2-4ac\)

6
Determină zerourile funcției \(f(x)=x^2-5x+6\).
7
Scrie \(x^2-6x+11\) în formă canonică.
8
Determină valoarea minimă a lui \(f(x)=2x^2-8x+5\).

\(\displaystyle Pentru \(a>0\), minimul este \(f(-b/(2a))\).\)

9
Stabilește intervalele de monotonie pentru \(f(x)=-x^2+4x+1\).
10
Funcția \(f(x)=x^2+mx+4\) are vârful cu abscisa \(3\). Determină \(m\).

\(x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}\)

Înapoi Următor