G08 - Aria triunghiului

Aria triunghiului

Formula de bază a ariei triunghiului este jumătate din produsul unei laturi cu înălțimea corespunzătoare. Din ea derivă formule utile pentru triunghiul dreptunghic, triunghiul echilateral și, când sunt cunoscute cele trei laturi, formula lui Heron.

1. Bază și înălțime

Oricare latură poate fi aleasă ca bază. Înălțimea corespunzătoare este distanța perpendiculară de la vârful opus la dreapta suport a bazei. Aria este \(A=\displaystyle\frac{a h_a}{2}\).

Formula poate fi văzută prin completarea triunghiului la un paralelogram cu aceeași bază și înălțime: triunghiul ocupă jumătate din aria acestuia.

2. Cazuri speciale

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt reciproc bază și înălțime, deci \(A=\displaystyle\frac{ab}{2}\). Pentru un triunghi echilateral, înălțimea se obține cu Pitagora, ceea ce conduce la \(A=\displaystyle\frac{a^2\sqrt3}{4}\).

3. Formula lui Heron și asemănarea

Dacă sunt cunoscute doar cele trei laturi, putem calcula semiperimetrul \(p=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}\) și apoi \(A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

Pentru triunghiuri asemenea cu raport de asemănare \(k\), raportul ariilor este \(k^2\), deoarece două dimensiuni liniare sunt scalate simultan.

De reținut.
  • \(A=\displaystyle\frac{a h_a}{2}\).
  • Triunghi dreptunghic: \(A=\displaystyle\frac{ab}{2}\) pentru catete \(a,b\).
  • Heron: \(A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

Exemplu explicat pas cu pas

Un triunghi are baza 12 cm și înălțimea corespunzătoare 7 cm. Află aria.

  1. Identificăm baza \(a=12\) și înălțimea \(h=7\).
  2. Aplicăm \(A=\displaystyle\frac{a h}{2}\).
  3. \(A=\displaystyle\frac{12\cdot7}{2}=42\,cm^2\).

Concluzie: Aria este \(42\,cm^2\).

Greșeală frecventă. Înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe baza aleasă. O mediană sau o bisectoare nu poate fi folosită în formula \(ah/2\) decât dacă în configurația respectivă coincide cu înălțimea.
Baza și înălțimea unui triunghiÎnălțimea AH este perpendiculară pe baza BC. ABCH bazăh
Aria este jumătate din produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare.

Verificare rapidă

  • Care este aria unui triunghi dreptunghic cu catetele 3 și 4?
    Vezi răspunsul

    \(A=\displaystyle\frac{3\cdot4}{2}=6\).

  • Ce este semiperimetrul?
    Vezi răspunsul

    Jumătate din perimetru: \(s=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}\).

  • Dacă raportul de asemănare este 3, care este raportul ariilor?
    Vezi răspunsul

    Raportul ariilor este \(3^2=9\).

Exerciții

1
Un triunghi are baza 10 cm și înălțimea 6 cm. Află aria.
2
Un triunghi dreptunghic are catetele 8 cm și 5 cm. Află aria.
3
Aria unui triunghi este 36 cm², iar baza este 9 cm. Află înălțimea.
4
Un triunghi echilateral are latura 4 cm. Află aria.

\(A_{\text{echil}}=\displaystyle\frac{a^2\sqrt3}{4}\)

5
Află aria triunghiului cu laturile 3, 4, 5.
6
Află aria triunghiului cu laturile 5, 5, 6 folosind înălțimea.
7
Află aria unui triunghi cu laturile 13, 14, 15 folosind formula lui Heron.

\(A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

8
Două triunghiuri asemenea au raportul laturilor corespunzătoare 2:5. Care este raportul ariilor?
9
Un triunghi are aria 54 cm². Un triunghi asemenea are toate laturile de două ori mai mari. Află aria lui.
10
Un triunghi are aceeași bază de 12 cm ca alt triunghi, dar înălțimea lui este de 1,5 ori mai mare. Dacă primul are aria 30 cm², află aria celui de-al doilea.
Înapoi Următor